Relativ innerer Punkt

Der Begriff Relativ Innerer Punkt ist ein topologischer Begriff, der in der Mathematischen Optimierung gebraucht wird.

Definition

Es sei $M$ eine Teilmenge eines $n$ -dimensionalen reellen Vektorraums $V$, $\operatorname {aff} (M)$ die affine Hülle von $M$ in $V$. Dann heißt ein Punkt $x$ aus $M$ ein relativ innerer Punkt von $M$, wenn es eine Umgebung $U_{\epsilon }(x)$ von $x$ gibt, so dass $U_{\epsilon }(x)\cap \operatorname {aff} (M)\subset M$ gilt. Die relativ inneren Punkte von $M$ sind also genau die inneren Punkte bezüglich der Unterraumtopologie von $\operatorname {aff} (M)$. Die Menge aller relativ inneren Punkte heißt das relativ Innere der Menge $M$ und wird mit $\operatorname {relint} (M)$ bezeichnet.

Unterschied zwischen innerer Punkt und relativ innerer Punkt einer Menge

Beispiele

Quader

Wir betrachten einen Quader im dreidimensionalen (reellen) Raum. Dann gilt:

• Ein Punkt im Inneren des Quaders ist relativ innerer Punkt des Vollquaders.
• Ein Punkt auf einer Seitenfläche des Quaders (nicht auf einer Kante) ist relativ innerer Punkt der betreffenden Seitenfläche, aber nicht des Vollquaders.
• Ein Punkt auf einer Kante des Quaders, der kein Eckpunkt des Quaders ist, ist relativ innerer Punkt der betreffenden Kante, aber weder einer Seitenfläche noch des Vollquaders.
• Ein Eckpunkt des Quaders ist in keiner (nichttrivialen) Teilmenge des Quaders ein relativ innerer Punkt.

Kreisscheibe

Wir betrachten eine abgeschlossene Kreisscheibe im dreidimensionalen (reellen) Raum. Dann gilt:

• Die affine Hülle der Kreisscheibe ist die Ebene im Raum, in der der Kreis liegt.
• Die Punkte der Kreislinie sind für die Kreisscheibe keine relativ inneren Punkte.
• Alle anderen Punkte der Kreisscheibe sind relativ innere Punkte.

Kurve in der Ebene

Sei $C$ eine Kurve in der Ebene. Formal: $C$ sei das Bild einer stetigen Funktion $f\colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.

Ein Punkt $f(t)$ auf der Kurve, der weder ihr Anfangs- noch ihr Endpunkt ist (das heißt $t$ liegt im Inneren von $I$), ist genau dann ein relativ innerer Punkt der Kurve, wenn die Kurve in einer Umgebung von $t$ geradeaus geht. Falls die Funktion $f$ an der Stelle $t$ zweimal differenzierbar ist, bedeutet dies, dass die Kurve dort die Krümmung 0 hat.