Benutzer:Bgm2011/LDGL

In dem noch zu erstellenden Unterartikel sollte das Thema auf dem Niveau von einfachen Anfangsvorlesungen an Uni und FH dargestellt werden und mit vielen Beispielen illustriert werden. Das ist eine Menge Arbeit. Es kann von anderen Nutzern darauf zugegriffen werden oder ausgebaut werden. --Bgm2011 (Diskussion) 12:02, 17. Mär. 2012 (CET)

Differentialgleichung n-ter Ordnung mit reellwertiger bzw. komplexwertiger Lösungsfunktion

• Eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung (der Ordnung n) mit konstanten Koeffizienten für eine reellwertige (bzw. komplexwertige) Funktion y ist eine Gleichung der Form

$y^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}y^{(k)}(x)+b(x)\,,$

wobei $y$ die gesuchte Funktion ist, $y^{(n)}$ die n-te Ableitung von $y$ und $a_{k}\in \mathbb {R}$ (bzw. $a_{k}\in \mathbb {C}$). Wenn b identisch 0 ist, dann heißt die Differentialgleichung homogen sonst inhomogen.

• Die implizite Form

$\sum _{k=0}^{n}c_{k}y^{(k)}(x)=b(x)$

mit $c_{n}{\neq }0$ lässt sich in die obere expizite Form umwandeln, indem man $a_{k}:=-c_{n}^{-1}{\cdot }c_{k}$ setzt.

• Wenn die Ordnung 1 ist, lautet die LDGL: $y'(x)=a{\cdot }y(x)+b(x)$ und wenn die Ordnung 2 ist: $y''(x)=a_{1}{\cdot }y'(x)+a_{0}{\cdot }y(x)+b(x)$
  

• Wenn es egal ist, ob der Körper $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$ ist, dann wird der Körper im folgenden einfach weggelassen oder K dafür geschrieben. Und für "lineare Differentialgleichung (mit konstanten Koeffizienten)" wird abkürzend LDGL geschrieben.

Umwandlung einer LDGL höherer Ordnung in ein LDGL-System 1. Ordnung am Beispiel n=2

• $y''(x)=a_{1}{\cdot }y'(x)+a_{0}{\cdot }y(x)+b(x)$ die LDGL 2. Ordnung
• Setze nun $y_{1}(x):=y(x)$ und $y_{2}(x):=y'(x)$.
• Dann ist $y_{1}''(x)=a_{1}{\cdot }y_{1}'(x)+a_{0}{\cdot }y_{1}(x)+b(x)=a_{1}{\cdot }y_{2}(x)+a_{0}{\cdot }y_{1}(x)+b(x)$ und damit gilt:
• ${\begin{pmatrix}y_{1}(x)\\y_{2}(x)\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}y_{1}'(x)\\y_{2}'(x)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y_{2}(x)\\y_{1}''(x)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y_{2}(x)\\a_{1}{\cdot }y_{2}(x)+a_{0}{\cdot }y_{1}(x)+b(x)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\a_{0}&a_{1}\end{pmatrix}}{\cdot }{\begin{pmatrix}y_{1}(x)\\y_{2}(x)\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\b(x)\end{pmatrix}}$
  
• Also hat es die Form ${\vec {y}}(x)'=A{\cdot }{\vec {y}}(x)+{\vec {b}}(x)$

Lösung von einfachen LDGL

Allgemeines zu Homogenen LDGL

• Sind $y_{1}(x)$ und $y_{2}(x)$ zwei spezielle Lösungen einer homogenen LDGL (n-ter Ordnung), dann ist auch $y_{3}(x):=c_{1}{\cdot }y_{1}(x)+c_{2}{\cdot }y_{2}(x)$ eine Lösung dieser LDGL.
• Denn $y_{3}(x)^{(n)}=(c_{1}{\cdot }y_{1}(x)+c_{2}{\cdot }y_{2}(x))^{(n)}=c_{1}{\cdot }y_{1}^{(n)}(x)+c_{2}{\cdot }y_{2}^{(n)}(x)=c_{1}{\cdot }\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}y_{1}^{(k)}(x)+c_{2}{\cdot }\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}y_{2}^{(k)}(x)=$

$=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}{\cdot }(c_{1}{\cdot }y_{1}^{(k)}+c_{2}{\cdot }y_{2}^{(k)}(x))=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}{\cdot }(c_{1}{\cdot }y_{1}(x)+c_{2}{\cdot }y_{2}(x))^{(k)}=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}y_{3}^{(k)}$

Homogene LDGL 1. Ordnung

• $y'(x)=a{\cdot }y(x)$
• Die allgemeine Lösung ist dann $y(x)=C{\cdot }e^{a{\cdot }x}$ mit beliebigem Faktor $C{\in }K$ , wie man durch Differenzieren von y(x) schnell nachweisen kann.

Inhomogene LDGL 1. Ordnung

• $y'(x)=a{\cdot }y(x)+b(x)$
• Sei F eine Stammfunktion von $f:x{\mapsto }b(x){\cdot }e^{-ax}$
• Dann ist $y(x)=F(x){\cdot }e^{a{\cdot }x}+C{\cdot }e^{a{\cdot }x}$ mit beliebigem konstantem Faktor $C{\in }K$ die Lösung der inhomogenen LDGL.
• Denn $y(x)'=(F(x){\cdot }e^{a{\cdot }x}+C{\cdot }e^{a{\cdot }x})'=(b(x){\cdot }e^{-ax}){\cdot }e^{a{\cdot }x}+F(x){\cdot }a{\cdot }e^{a{\cdot }x}+C{\cdot }a{\cdot }e^{a{\cdot }x}=a{\cdot }(F(x){\cdot }e^{a{\cdot }x}+C{\cdot }e^{a{\cdot }x})+b(x)=a{\cdot }y(x)+b(x)$
• Bemerkung: Insbesondere ist auch $y_{part}(x)=F(x){\cdot }e^{a{\cdot }x}$ eine spezielle Lösung der inhomogenen LDGL, sie wird partikuläre Lösung bezeichnet, zu der die allgemeine Lösung der korrespondierenden homogenen LDGL dazuaddiert wird. Wenn b(x)=b also eine Konstante ist, dann ist $F(x)=-b/a{\cdot }e^{-a{\cdot }x}$ und damit $y_{part}(x)=-b/a$ auch eine Konstante.

Homogene LDGL 2. Ordnung

• $y''(x)=a_{1}{\cdot }y'(x)+a_{0}{\cdot }y(x)$

Differentialgleichung n-ter Ordnung mit (reell-)vektorwertiger Lösungsfunktion $y:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{m}$ ($m>1$)

Da man eine komplexe Zahl in einen jeweils reellen Realteil und Imginärteil zerlegen kann, lässt sich eine komplex-vektorwertige Funktion $y:\mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{m}$ auch als eine reell-vektorwertige Funktion $y:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2m}$ schreiben. Durch die Beschränkung im Folgenden auf reell-vektorwertige Funktionen geht also nichts verloren.