Approximationssatz von Dixmier

Der Approximationssatz von Dixmier, benannt nach Jacques Dixmier, ist ein Satz aus der mathematischen Theorie der Von-Neumann-Algebren. Er besagt, dass man mittels Konvexkombinationen der unitär Konjugierten eines Elementes einer Von-Neumann-Algebra ein Element des Zentrums approximieren kann.

Formulierung des Satzes

Es seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U} die Gruppe der unitären Elemente und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z} das Zentrum einer Von-Neumann-Algebra Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} . Dann gilt für jedes Element Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a\in A}

${\overline {\mathrm {conv} (\{uau^{*}|\,u\in U\})}}\cap Z\not =\emptyset$.

Dabei bezeichnet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{conv}} die Bildung der konvexen Hülle und der Querstrich den Normabschluss.

Zusatz: Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} eine endliche Von-Neumann-Algebra, so ist obiger Durchschnitt einelementig. Er besteht aus dem Bild der Spur von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} .

Anwendungen

• Die Tatsache, dass für endliche Von-Neumann-Algebren der Durchschnitt des Normabschlusses der konvexen Hülle der Elemente $uau^{*}$ mit dem Zentrum einelementig ist, kann verwendet werden, die Existenz der Spur zu zeigen. Jedes Element der Von-Neumann-Algebra wird auf das eindeutig bestimmte Element dieses Durchschnitts abgebildet, das definiert die Spur. Dieses Vorgehen ist im angegebenen Lehrbuch von Kadison und Ringrose ausgeführt.
• Mit Hilfe des Approximationssatzes von Dixmier kann man zeigen, dass für eine Von-Neumann-Algebra Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} mit Zentrum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z} die Abbildung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M\mapsto Z\cap M}

eine Bijektion von der Menge aller maximalen, zweiseitigen Ideale von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} auf die Menge der maximalen Ideale des Zentrums ist.