Kretschmann-Skalar

Der Kretschmann-Skalar $K$ (auch Kretschmann-Invariante oder Riemannsche Invariante; nach Erich Kretschmann, der ihn einführte) bezeichnet eine skalare Invariante im Bereich der Lorentzschen Mannigfaltigkeiten. Er kann als Maß für die Krümmung der Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie gedeutet werden.

Definition

Der Kretschmann-Skalar $K$ ist unter Verwendung der Einsteinschen Summenkonvention definiert als

$K=R_{\kappa \lambda \mu \nu }\,R^{\kappa \lambda \mu \nu }=\sum _{\kappa =0}^{3}\sum _{\lambda =0}^{3}\sum _{\mu =0}^{3}\sum _{\nu =0}^{3}R_{\kappa \lambda \mu \nu }\,R^{\kappa \lambda \mu \nu }$.

Hierbei bezeichnet $R_{\kappa \lambda \mu \nu }$ den Riemannschen Krümmungstensor und $\,R^{\kappa \lambda \mu \nu }=\sum _{i=0}^{3}g^{\kappa i}\,\sum _{j=0}^{3}g^{\lambda j}\,\sum _{k=0}^{3}g^{\mu k}\,\sum _{l=0}^{3}g^{\nu l}\,R_{ijkl}\,$.

Für die vierdimensionale Raumzeit kann der Kretschmann-Skalar weiterhin durch den Weyl-Tensor $C_{\kappa \lambda \mu \nu }$, den Ricci-Tensor $R_{\kappa \lambda }$ sowie den Ricci-Skalar $R$ wie folgt ausgedrückt werden:

$K=C_{\kappa \lambda \mu \nu }\,C^{\kappa \lambda \mu \nu }+2R_{\kappa \lambda }\,R^{\kappa \lambda }-{\frac {1}{3}}R^{2}$

Beispiel

Für die Schwarzschild-Metrik ist der Kretschmann-Skalar mit dem Schwarzschild-Radius $r_{s}$ gegeben durch:

$K={\frac {12{r_{s}}^{2}}{r^{6}}}={\frac {48G^{2}M^{2}}{c^{4}r^{6}}}$