Algebraische Menge

In der Mathematik, genauer in der Algebraischen Geometrie, ist eine algebraische Menge ein Gebilde in der Ebene, im Raum, oder allgemeiner im $n$-dimensionalen Raum, die durch eine oder mehrere Polynomgleichungen gegeben ist. Das heißt, eine algebraische Menge ist die Lösungsmenge eines Systems von Polynomgleichungen.

Im dreidimensionalen Raum zum Beispiel ist der Kreis in der Ebene $z=1$ mit Mittelpunkt $(0,0,1)$ und Radius 2 eine algebraische Menge, denn es handelt sich um die Lösungsmenge der beiden Gleichungen $x^{2}+y^{2}=4$ und $z=1$.

In älteren Quellen und auch in einigen modernen Einführungen werden algebraische Mengen auch Varietäten genannt. Nach dem modernen Gebrauch aber gelten nur die irreduziblen algebraischen Mengen als Varietäten.

Definition

Sei $k$ ein Körper, und seien $f_{1},f_{2},\ldots ,f_{s}$ Elemente des Polynomrings $k[X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}]$ in $n$ Unbestimmten. Die Verschwindungsmenge $V(f_{1},f_{2},\ldots ,f_{s})$ dieser Polynome ist dann die Teilmenge von $k^{n}$ gegeben durch

$V(f_{1},f_{2},\ldots ,f_{s})=\{P\in k^{n}\mid f_{1}(P)=f_{2}(P)=\cdots =f_{s}(P)=0\}\,.$

Eine Teilmenge $V\subseteq k^{n}$ heißt affine algebraische Menge, wenn es Polynome $f_{1},f_{2},\ldots ,f_{s}$ gibt derart, dass $V=V(f_{1},f_{2},\ldots ,f_{s})$ gilt.

Zum Beispiel ist die Parabel $y=x^{2}$ die algebraische Menge $V(Y-X^{2})\subseteq \mathbb {R} ^{2}$.

Ist allgemeiner $T$ eine Menge von Polynomen aus $k[X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}]$, so setzt man $V(T)=\{P\in k^{n}\mid \forall \,f\in T:f(P)=0\}$. Nun sei $I\trianglelefteq k[X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}]$ das durch $T$ erzeugte Ideal. Man zeigt dann, dass $V(T)=V(I)$ gilt. Nach dem Hilbertschen Basissatz ist wiederum das Ideal $I$ durch endlich viele Polynome $g_{1},g_{2},\ldots ,g_{t}\in k[X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}]$ erzeugt. Somit gilt $V(T)=V(I)=V(g_{1},g_{2},\ldots ,g_{t})$. Das heißt, jede algebraische Menge lässt sich durch endlich viele Polynome beschreiben.

Irreduzibilität

Eine algebraische Menge heißt irreduzibel, wenn sie sich nicht in einfachere Teile zerlegen lässt. Genauer ist eine algebraische Menge $V$ irreduzibel, wenn $V$ nicht leer ist und für jedes Paar algebraischer Mengen $U,W\subset V$ mit

$U\cup W=V$

gilt, dass $U=V$ oder $W=V$ ist.

Mit anderen Worten: $V$ ist eine irreduzible algebraische Menge, wenn $V$ irreduzibel bezüglich der Zariski-Topologie ist.

Zum Beispiel ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V(XY) \subseteq \mathbb{R}^2} die Vereinigung der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} -Achse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V(Y)} und der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Achse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V(X)} . Somit ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle XY} reduzibel.

Verschwindeideal

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V\subset k^n} eine algebraische Menge, so ist ihr Verschwindeideal definiert als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I(V):= \{ f(X_1,\ldots,X_n) \in k\left[X_1,\ldots,X_n\right] \mid \forall (\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \in V : f(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)=0 \}} .

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I(V)} ist ein Radikal-Ideal, es gilt also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{I(V)} = I(V)} .

Primideale

Nehmen wir jetzt an, dass der Körper Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} algebraisch abgeschlossen ist. Es stellt sich dann heraus, dass eine algebraische Menge genau dann irreduzibel ist, wenn ihr Verschwindeideal ein Primideal des Polynomrings ist. Ferner ist die Abbildung der Radikalideale auf Varietäten, gegeben durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle J \to V(J)} bijektiv. Die Umkehrabbildung ist gegeben durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V \to I(V)} . Die Abbildungen tauschen Mengeninklusionen um; maximale Ideale entsprechen genau den Punkten des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k^n} . Dies ist eine Konsequenz aus dem Hilbertschen Nullstellensatz.

Im Falle eines von einem Polynom Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P\in K\left[x_1,\ldots,x_n\right]} erzeugten Hauptideals Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I(X)=(P)} ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (P)} genau dann ein Primideal, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} ein irreduzibles Polynom ist, sich also nicht als Produkt nichtkonstanter Faktoren zerlegen lässt.

Zerlegung einer Varietät in irreduzible Komponenten

Jede algebraische Menge kann auf eindeutige Weise als endliche Vereinigung irreduzibler Untervarietäten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_i} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_i\not\subset X_j} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i\not= j} dargestellt werden.

Beispiele

• Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi\colon X\to Y} eine reguläre Abbildung zwischen projektiven algebraischen Mengen ist, und wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y} irreduzibel und alle Urbilder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi^{-1}(p)} irreduzibel von derselben Dimension sind, dann ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} irreduzibel.
• Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X\subset P^n} eine Varietät und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega_X\subset P^{n*}\times X} ihr universeller Hyperebenenschnitt ist, dann ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega_X} irreduzibel.

Literatur

• Harris, Joe: Algebraic geometry. A first course. Corrected reprint of the 1992 original. Graduate Texts in Mathematics, 133. Springer-Verlag, New York, 1995. ISBN 0-387-97716-3
• Klaus Hulek: Elementare Algebraische Geometrie. Grundlegende Begriffe und Techniken mit zahlreichen Beispielen und Anwendungen. 2., überarbeitete Auflage. Springer Spektrum, 2012, ISBN 978-3-8348-1964-2. 
• David Cox, John Little, Donal O’Shea: Ideals, Varieties and Algorithms. An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra. 3. Auflage. Springer, 2007, ISBN 978-0-387-35650-1. 
• Joachim Hilgert: Mathematische Strukturen. Von der linearen Algebra über Ringen zur Geometrie mit Garben. Springer Spektrum, Berlin 2016, ISBN 978-3-662-48869-0.