Benutzer:Quadrie/Quadratur des Rechtecks

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Überblick [Quelltext bearbeiten]

Symmetrierung

Lösungen zur Symmetrierung von Flächenobjekten sind klassische Aufgabenberechnungen der Geometrie. Dabei wird bei Beibehaltung der gleichen Flächebgrösse die Symmetrie von Dreiecken und Rechtecken hin zu regulären Vielecken verbessert und letztlich eine gleichgrosse Kreisfläche mit vollkommener Symmetrie berechnet. Die Umrechnung eines Dreiecks in ein reguläres 6-Eck, dann 12-Eck usw, oder in ein Rechteck, ein Quadrat, dann 8-Eck usw. sind solche klassisch gezeichneten Aufgabenberechnungen.

Anti-Symmetrierung

Klassische Aufgabenberechnungen der Geometrie sind auch die Lösungen zur Anti-Symmetrierung von Flächenobjekten. Hier ist die Richtung des Berechnens umgekehrt. Es wird bei Beibehaltung der gleichen Flächengröße die Symmetrie vom Kreis über reguläre Vielecke, Rechtecke bis hin zu Rechtecken und Dreiecken immer mehr aufgelöst. Die Lösung der Quadratur des Kreises ist eine solche klassische Aufgabenberechnung.

Lösungsauflagen für das elementar gezeichnete Berechnen

Es gibt schon seit der Antike Lösungsauflagen für das elementar gezeichnete Berechnen, damit das Erzeugen des gezeichneten Ergebnisses Schritt um Schritt anschaulich logisch nachvollzogen werden kann. Die gezeichneten Schritte (Rechenoperationen) müssen alle vollständig bekannt und real ausführbar sein. Dies wird durch eine Beschränkung auf elementaren Kurven Kreis und Gerade bzw. auf die Werkzeuge Zirkel und ein strichloses Lineal garantiert. Das gezeichnete Ergebnis soll durch eine stringente Sequenz zusammenhängend gezeichneter Kurvenstücke von Kreis und Gerade berechnend erzeugt und nicht herbei probiert werden. Schritte eines probierenden Annäherns an das gedachte wahre Ergebnis sind somit nicht zugelassen. Schon gezeichnete Kohärenzkurven, wie die kinematisch erzeugte Kurve Quadratrix, sind nicht zugelassen. Die gezeichneten Berechnungsprozesse müssen exakte und nicht nur genäherte sein, damit nach endlich vielen Schritten ein zweifelsfrei zutreffendes Ergebnis gezeichnet ist.

Dreieck <-> Rechteck [Quelltext bearbeiten]

Kohärenzgrundlage [Quelltext bearbeiten]

Mathematischen Gesetze des Erhalt-und Symmetrie-Grundsatzes.

In einem Dreick=Halb-Rechteck der Größe A=a⋅b=1/2 hat die Langseite a die Grösse a=2^+x und die Kurzseite b die Grösse b=(2^−x/2). Gemäss des Erhalt-und Symmetrie-Grundsatzes muss für die Quadratur die Langseite schrumpfen und die Kurzseite wachsen, bis schliesslich beide gleich gross sind und dann immer noch für die Fläche A=a⋅b=(2^(x=0))/2=1/2 gilt.

Beschreibung des gezeichneten Kohärenzsystems

Vom gegebenen gelben Dreieck ausgehend wird durch eine Dreieckspitze eine Parallele zur gegenüber liegenden Seite gezeichnet und dann diese Spitze so verschoben, dass ein Halbrechteck entsteht. Mit den Halbieren einer der Rechteckseiten wird dann zum flächengleichen Rechteck gelangt. Die weiter Vorgehensweise folgt bei Rechteck <-> Quadrat.

Rechteck <-> Quadrat [Quelltext bearbeiten]

Gezeichnet berechnete Quadratur des Rechtecks.jpg

Kohärenzgrundlage [Quelltext bearbeiten]

Mathematischen Gesetze des Erhalt-und Symmetrie-Grundsatzes.

In einem Rechteck der Größe A=a⋅b=1 hat die Langseite a die Grösse a=2^+x und die Kurzseite b die Grösse b=2^−x. Gemäss des Erhalt-und Symmetrie-Grundsatzes muss für die Quadratur die Langseite schrumpfen und die Kurzseite wachsen, bis schliesslich beide gleich gross sind und dann immer noch für die Fläche A=a⋅b=2^(x=0)=1 gilt.

Beschreibung des gezeichneten Kohärenzsystems

Vom gegebenen gelben Rechteck ausgehend wird mit dessen Langseite a ein Kohärenzsystem „grosses Quadrat“ und ein Umkreis dazu gezeichnet. Im Schnittpunkt der eingezeichneten Quadratdiagonale mit der inneren Rechteck-Langseite wird eine senkrecht stehende Gerade gezeichnet, die aussen die Kreislinie schneidet. Um den rechten unteren Rechteckpunkt wir dann ein Kreis durch die äusseren Schnittpunkte auf dem Kreis gezeichnet. Dieser Kreis schneidet innen die Quadratdiagonale und markiert mit dem Schnittpunkt die gesuchte Quadratecke. Durch diesen Eckpunkt wird eine Parallele zu den Rechteck-Langseiten gezeichnet, Diese Parallele schneidet die Seiten des grossen Quadrates. Schliesslich wird eine Strecke vom rechten unteren Rechteckpunkt zum besagten Schnittpunkt auf der linken Quadratseite gezeichnet. Diese Strecke ist eine Symmetriegerade. Sie beweist anschaulich logisch nachvollziehbar die gezeichnet berechnete Flächengleichheit. Die beiden an den inneren Quadratseiten anliegenden Rechtecke sind aus Gründen der Symmetrie gleich gross und damit ist die gesuchte Quadratfläche gleich gross zur gegebenen Rechteckfläche.

Quadrat <-> Kreis [Quelltext bearbeiten]

Kohärenzgrundlage [Quelltext bearbeiten]

Mathematischen Gesetze des Erhalt-und Symmetrie-Grundsatzes. Die Berechnung der Richtung Quadrat -> Rechteck vereinfacht sich erheblich, wenn die mathematische Konstante Pi bereits berechnet ist und damit als geometrische Rechengröße Pi_geo zur Verfügung steht. Deshalb beginnen wir die Berechnung hier mit der Berechnungsrichtung Kreis -> Quadrat.

Steht das Kreisverhältnis pi = Kreisfläche / (Quadratfläche über den Radius) als gegebene Rechengröße PI_geo zur Verfügung, kann die bekannte Gleichung nach dem Kreisradius = ((Kreisfläche=1)/ Pi)^1/2= 0,564189... aufgelöst werden.

↑ Ferdinand Rudio; Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre, Vier Abhandlungen über die Kreismessung, B-G-Teubner Leipzig 1892 ...