Intuitionistische Fuzzymenge

Eine intuitionistische Fuzzymenge, engl. intuitionistic fuzzy set, ist eine Verallgemeinerung des Begriffes Fuzzymenge und wurde 1986 von K. Atanassov eingeführt. Während eine Fuzzymenge allein durch ihre Zugehörigkeitsfunktion charakterisiert wird, gibt es bei einer intuitionistischen Fuzzymenge zusätzlich noch die Nicht-Zugehörigkeitsfunktion.

Definitionen

Sei $U$ das sogenannte Universum, d. h. die Grundmenge, auf der die Untersuchungen stattfinden, häufig ist $U=\mathbb {R}$. Eine intuitionistische Fuzzymenge $A$ ist charakterisiert durch eine Zugehörigkeitsfunktion $m_{A}$ und eine Nicht-Zugehörigkeitsfunktion $n_{A}$. Für diese Funktionen gilt:

$\forall x\in U:\quad 0\leq m_{A}(x)\leq 1,\quad 0\leq n_{A}(x)\leq 1,\quad 1-m_{A}(x)-n_{A}(x)\geq 0$

Dabei wird $m_{A}(x)$ interpretiert als Grad der Akzeptanz, dass $x$ zu $A$ gehört und $n_{A}(x)$ als Grad der Akzeptanz, dass $x$ nicht zu $A$ gehört. Ist $1-m_{A}(x)-n_{A}(x)=0$, dann haben wir den Spezialfall einer klassischen Fuzzymenge: Der Grad der Nicht-Zugehörigkeit ergibt sich in diesem Fall als $n_{A}(x)=1-m_{A}(x)$. Ist jedoch $1-m_{A}(x)-n_{A}(x)>0$, dann steht dieser Wert für den Grad der Unbestimmtheit, d. h. mit diesem Grad kann man nicht entscheiden, ob $x$ zu $A$ oder nicht zu $A$ gehört. Für festes $x$ wird das Pärchen $(m_{A}(x);n_{A}(x))=(m;n)$ auch intuitionistische Fuzzy-Zahl genannt.

Beispiel

Es wird über eine Resolution abgestimmt. Es gibt 5 Ja-Stimmen, 1 Nein-Stimme und 4 Enthaltungen. Dieses „unscharfe“ Zustimmungsergebnis kann gut ausgedrückt werden durch die intuitionistische Fuzzy-Zahl $(0{,}5;0{,}1)$, wobei $0{,}5$ der Grad der Zustimmung, $0{,}1$ der Grad der Ablehnung und $1-0{,}5-0{,}1=0{,}4$ der Grad der Unbestimmtheit ist.

Weiteres

Für intuitionistische Fuzzy-Zahlen können algebraische Operationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division definiert werden. Außerdem können intuitionistische Fuzzy-Funktionen definiert und für diese eine Differential- und Integralrechnung begründet werden.