Margulis-Ruelle-Ungleichung

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In der mathematischen Theorie dynamischer Systeme besagt die Margulis-Ruelle-Ungleichung, dass die Entropie eines dynamischen Systems nach oben durch die Summe seiner positiven Lyapunov-Exponenten abgeschätzt werden kann.

Mathematische Formulierung

Sei ein -Diffeomorphismus einer kompakten Mannigfaltigkeit mit einem invarianten Wahrscheinlichkeitsmaß . Dann gilt für die Kolmogorow-Sinai-Entropie die Ungleichung

,

wobei die Ljapunow-Exponenten im Punkt sind und aber auf der rechten Seite jeweils nur über die in positiven Ljapunow-Exponenten summiert wird.

Für glatte invariante Wahrscheinlichkeitsmaße gilt die stärkere Entropieformel von Pesin:

.

Für nicht-glatte invariante Wahrscheinlichkeitsmaße kann jedoch eine strikte Ungleichung gelten. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn die nichtwandernde Menge endlich und hyperbolisch ist. Präzise Bedingungen, wann in der Margulis-Ruelle-Ungleichung Gleichheit gilt, gibt der Satz von Ledrappier-Young.

Literatur

  • Min Quian, Jian-Sheng Xie, Shu Zhu: Smooth ergodic theory for endomorphisms, Lecture Notes in Mathematics 1978, Springer Verlag, 2009.

Weblinks