Diskussion:Satz von Radon-Nikodým

Ich denke im Falle eines signierten Maßes muss ν ebenfalls σ-endlich sein.--Drizzd 18:46, 23. Feb. 2007 (CET)

Ich denke, dass im Artikel das Wichtigste fehlt: f ist ${\mathcal {A}}$-messbar. Ein Hinweis auf den Bildraum von f wäre sicherlich auch hilfreich. Ich weiß nicht, wie es bei einem signierten Maß aussieht, aber normalerweise müsste das glaube ich [0, \infty) sein (englischer Artikel) --91.23.119.35 06:36, 22. Dez. 2008 (CET)

Es heißt "vorzeichenbehaftetes Maß", nicht "signiertes Maß". 77.176.87.87 17:06, 28. Apr. 2011 (CEST)

Sagt wer? -- Digamma 17:32, 28. Apr. 2011 (CEST)

Auch wenn die Fragen allesamt sehr lang zurück liegen, werde ich mich mal um ein paar Antworten bemühen. Vlt. interessiert es ja noch andere Mitlesende...

• Das Maß $\nu$ braucht selbst nicht σ-endlich zu sein, die σ-Endlichkeit von $\mu$ ist dagegen essentiell.
• Die Messbarkeit von $f$ ist eher nebensächlich; wäre $f$ nicht messbar, dann würde der Ausdruck $\int _{E}f\,\mathrm {d} \mu$ schlicht keinen Sinn machen. Wenn man ganz formal korrekt sein möchte, ist die Messbarkeit also eine Nebenfolge des Satzes. Deutlich wichtiger ist, dass die Dichte $f\in L^{1}(\mu )$ bzgl. $\mu$ integrierbar ist, d.h. $\int _{X}|f|\,\mathrm {d} \mu <\infty$. Diesen Hinweis vermisse ich wirklich und werde ihn demnächst ergänzen.
• Aus der Integrierbarkeit folgt auch die Antwort auf die Frage nach dem Bildraum von $f$, es geht beides! Sowohl $[0,\infty ]$ (für signierte Maße $[-\infty ,\infty ]$) als auch $\mathbb {R}$ ist möglich. Die Integrierbarkeit impliziert, dass die Niveaumenge $\{x\in X\mid f(x)=\infty \}$ eine $\mu$-Nullmenge ist. Da die Dichte als Funktion auf $X$ eh nur bis auf eine Menge vom Maß $0$ eindeutig ist, kann man $f$ o.B.d.A. so umdefinieren, dass ihr Bild vollständig in $\mathbb {R}$ liegt.
• Ich kenne im Deutschen ausschließlich den Begriff des signierten Maßes, obwohl ich mit der deutschsprachigen Literatur auch nicht so vertraut bin. Im Englischen ist es einfach signed measure, was man wiederum wörtlich eher mit vorzeichenbehafteten Maß übersetzen würde. Letzteres klingt für mich aber eher nach Begriffsbildung.

Ich hoffe ich konnte ein paar Klarheiten beseitigen... Liebe Grüße -- 2A02:8109:9400:474:D4D:D6D2:A035:7477 00:03, 24. Feb. 2017 (CET)

Update: Ups, dass ich den Hinweis auf die Integrierbarkeit vermisst habe, lag nur daran, dass ich ihn überlesen habe... ;) Liebe Grüße -- 2A02:8109:9400:474:D4D:D6D2:A035:7477 00:12, 24. Feb. 2017 (CET)

Man muss die $\sigma$-Endlichkeit von $\nu$ voraussetzen oder auch unendliche Funktionswerte erlauben. Ist zum Beispiel X ein einpunktiger Raum, so setze man $\mu (X)=1,\nu (X)=\infty$. Es gibt eine Radon-Nikodym-Ableitung, diese ist aber unendlich. -- 2A01:598:990A:743C:FA39:3BDC:8CFB:C0AE 12:41, 20. Nov. 2019 (CET)

Danke für den Hinweis, ich habe das jetzt ergänzt. -- HilberTraum (d, m) 20:31, 20. Nov. 2019 (CET)