Grenzwertkriterium

Das Grenzwertkriterium ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, um zu entscheiden, ob eine unendliche Reihe konvergent oder divergent ist.

Aussagen

Es seien $\sum _{k}a_{k}$ und $\sum _{k}b_{k}$ zwei unendliche Reihen mit positiven Summanden (das heißt, $a_{k}>0$ und $b_{k}>0$ für alle $k\in \mathbb {N}$). Dann gilt

• Ist $\limsup {\frac {a_{k}}{b_{k}}}<\infty$ und konvergiert die Reihe $\sum b_{k}$, so konvergiert auch $\sum a_{k}$.
• Ist $\liminf {\frac {a_{k}}{b_{k}}}>0$ (das ist äquivalent zu $\limsup {\frac {b_{k}}{a_{k}}}<\infty$), so folgt analog aus der Konvergenz von $\sum a_{k}$ die Konvergenz von $\sum b_{k}$.
• Gilt zugleich $0<\liminf {\frac {a_{k}}{b_{k}}}\leq \limsup {\frac {a_{k}}{b_{k}}}<\infty$, so haben $\sum a_{k}$ und $\sum b_{k}$ das gleiche Konvergenzverhalten.

Insbesondere gilt:

• Konvergiert die Folge ${\frac {a_{k}}{b_{k}}}$ gegen einen Wert $c$ mit $0<c<\infty$, so konvergiert die Reihe $\sum a_{k}$ genau dann, wenn die Reihe $\sum b_{k}$ konvergiert.

Beweis

Ist $\limsup {\frac {a_{k}}{b_{k}}}<\infty$, so ist ${\frac {a_{k}}{b_{k}}}<C$ und daher $a_{k}<C\,b_{k}$ für ein geeignetes $C$ und alle genügend großen $k$. Nach dem Majorantenkriterium folgt aus der Konvergenz der Reihe $\sum b_{k}$ die Konvergenz von $\sum a_{k}$.

Literatur

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 1980, ISBN 3-519-02221-4 (17. aktualisierte Auflage. ebenda 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9), S. 204-205
• Rinaldo B. Schinazi: From Calculus to Analysis. Springer, 2011, ISBN 978-0-8176-8289-7, S. 50
• Ed Barbeau: Fallacies, Flaws, and Flimflam. In: The College Mathematics Journal, Vol. 38, No. 2, März 2007, S. 131–134, JSTOR 27646447
• Michele Longo, Vincenzo Valori: The Comparison Test: Not Just for Nonnegative Series. In: Mathematics Magazine, Vol. 79, No. 3, Juni 2006, S. 205–210 (JSTOR 27642937)
• J. Marshall Ash: The Limit Comparison Test Needs Positivity. In: Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 5, Dezember 2012, S. 374–375, doi:10.4169/math.mag.85.5.374

Weblinks

• Oswald Riemenschneider: Analysis II (PDF) Skript, Uni Hamburg, Satz 16.33
• Eric W. Weisstein: limit comparison test. In: MathWorld (englisch).
• Pauls Online Notes on Comparison Test