Killing-Form

Die Killing-Form (auch Cartan-Killing-Form) spielt eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie und in der Klassifikation der halbeinfachen Lie-Algebren. Sie ist nach Wilhelm Killing benannt.

Definition

Sei ${\mathfrak {g}}$ eine Lie-Algebra über dem Körper $k$ und $\operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$ ihre adjungierte Darstellung.

Die Killing-Form ist die durch

$B(X,Y):=\operatorname {Tr} (\operatorname {ad} (X)\circ \operatorname {ad} (Y))$

für $X,Y\in {\mathfrak {g}}$ definierte symmetrische Bilinearform

$B:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow k$,

wobei $\operatorname {Tr}$ die Spur bezeichnet.

Eigenschaften

• $B$ ist eine symmetrische Bilinearform.
• $B$ ist assoziativ, das heißt, es gilt $B([X,Y],Z)=B(X,[Y,Z])$ für alle $X,Y,Z\in {\mathfrak {g}}$.
• Für alle $Z\in {\mathfrak {g}}$ ist $\operatorname {ad} (Z)$ schiefsymmetrisch bzgl. $B$, das heißt für alle $X,Y\in {\mathfrak {g}}$ gilt

$B(\operatorname {ad} (Z)X,Y)=-B(X,\operatorname {ad} (Z)Y)$.

• Die Killing-Form ist nicht-ausgeartet genau dann, wenn die Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ halb-einfach ist.
• Falls ${\mathfrak {g}}$ die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe $G$ ist, dann ist $B$ $\operatorname {Ad}$-invariant, d. h. für alle $g\in G,X,Y\in {\mathfrak {g}}$ gilt

$B(\operatorname {Ad} (g)X,\operatorname {Ad} (g)Y)=B(X,Y)$.

• Falls ${\mathfrak {g}}$ die Lie-Algebra einer halbeinfachen Lie-Gruppe ist, dann ist die Killing-Form negativ definit genau dann, wenn $G$ kompakt ist. Insbesondere definiert $-B$ eine bi-invariante Riemannsche Metrik auf einer kompakten, halbeinfachen Lie-Gruppe $G$. Allgemeiner ist auf der Lie-Algebra einer kompakten (nicht notwendig halbeinfachen) Lie-Gruppe die Killingform stets negativ semidefinit.

Beispiele

Die Killing-Form nilpotenter Lie-Algebren ist identisch Null.

Für viele klassische Lie-Algebren lässt sich die Killing-Form explizit angeben:

g	$B(X,Y)$
gl(n, R)	$2n\operatorname {Tr} (XY)-2\operatorname {Tr} (X)\operatorname {Tr} (Y)$
sl(n, R)	$2n\operatorname {Tr} (XY)$
su(n)	$2n\operatorname {Tr} (XY)$
so(n, R)	$(n-2)\operatorname {Tr} (XY)$
so(n)	$(n-2)\operatorname {Tr} (XY)$
sp(n, R)	$(2n+2)\operatorname {Tr} (XY)$
sp(n, C)	$(2n+2)\operatorname {Tr} (XY)$

Riemannsche Metrik auf symmetrischen Räumen von nichtkompaktem Typ

Ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ ist eine Mannigfaltigkeit der Form

$M=G/K$

mit einer halbeinfachen Lie-Gruppe $G$ und einer maximal kompakten Untergruppe $K$.

Zu einem symmetrischen Raum hat man eine Cartan-Zerlegung

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}$

und man kann den Tangentialraum $T_{\left[e\right]}G/K$ im neutralen Element mit ${\mathfrak {p}}$ identifizieren.

Die Killing-Form ist negativ definit auf ${\mathfrak {k}}$ und positiv definit auf ${\mathfrak {p}}$. Insbesondere definiert sie ein $\operatorname {Ad} (G)$-invariantes Skalarprodukt auf ${\mathfrak {p}}$ und damit eine links-invariante Riemannsche Metrik auf $M=G/K$. Bis auf Multiplikation mit Skalaren ist dies die einzige $G$-invariante Metrik auf $M$.

Die Differentialgeometrie symmetrischer Räume beschäftigt sich mit den Eigenschaften dieser Riemannschen Mannigfaltigkeiten.

Klassifikation halbeinfacher Lie-Algebren

Die Killing-Form spielt eine Schlüsselrolle in der Klassifikation der halbeinfachen Lie-Algebren über algebraisch abgeschlossenen Körpern der Charakteristik $0$.

Literatur

• Humphreys, James E.: Introduction to Lie algebras and representation theory. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 9. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1972.