Diskussion:Sekantenverfahren

Laut Prof. Heinrich Voß, der Numerische Mathe an der technischen Universität Hamburg Harburg (www.tuhh.de) unterrichtet, handelt es sich hier um die Beschreibung des Sekantenverfahrens, der hier fälschlicherweise als "regula falsi" bezeichnet wird.

Tatsächliches "Regula Falsi" ist ein einschließendes Verfahren...

Siehe auch Skript unter http://www.tu-harburg.de/mat/LEHRE/material/grnummath.pdf

Danke fuer den Hinweis, da hat aber jemand nen Riesenbock geschossen :-) Ich habe den Artikel einfach verschoben und angepasst. --DaTroll 15:21, 28. Nov 2005 (CET)

Zur Aussage:

Je Iterationsschritt muss nur die Funktion f(x) einmal berechnet werden. Beim Newtonverfahren muss zusätzlich auch noch der Funktionswert der Ableitung f'(x) bestimmt werden.

Dieser Aussage kann ich nicht ganz entsprechen, da ebenfalls der Funktionswert für f(x_{i-1}) bestimmt werden muss. Man benötigt in jedem Schritt zusätzlichen Speicherplatz, da x_{i-1} mit abgespeichert werden muss. Für die meisten Fälle kann die erste Ableitung direkt angeben werden, so dass dies nur für Fälle relevant ist, für die die Ableitung nummerisch ermittelt werden muss. Dementsprechend sehe ich hier keinen Vorteil des Sekantenverfahren.

Was heißt in den meißten Fällen? Da liegt genau das Problem, es gibt auch viele Fälle wo man nicht die Ableitung bestimmen kann.--Flegmon 19:51, 26. Mai 2010 (CEST)

Er schrieb orthographisch gesehen ganz korrekt "meisten", nicht "meißten". Aber mathematisch gesehen bin ich auch der Meinung, dass man in den meisten praktischen Anwendungen man weder f noch die Ableitung f' explizit/analytisch kennt.

"Abspeichern" ist kein Problem, und man muss sich ja nur den letzten Funktionswert und x-Wert merken. Aber Berechnen kann u.U. extrem "teuer" sein. Es gibt viele Beispiele wo die Berechnung jedes einzelnen Wertes f(x) einen Optimierungsprozess mit vielen numerischen Integrationen etc. erfordert. Um numerisch die für das Newton-Verfahren benötigte Ableitung zu berechnen, muss man definitionsgemäß mehrere Funktionswerte berechnen. (Wenn wir von "Komplexität"/Rechenaufwand sprechen, sollten wir oBdA annehmen das wir eine beliebig komplizierte Funktion f haben, die sich nicht elementar darstellen und ableiten lässt.) Also ist die Berechnung von f'(x) jedem Fall um einiges teurer als das momentane Abspeichern von $f(x_{n})$ bis zur nächsten Iteration. — MFH 22:04, 9. Mär. 2020 (CET)

Konvergenzgeschwindigkeit

In dem Artikel steht "Das Sekantenverfahren konvergiert superlinear mit Konstanten 1,618". Soll das heißen, dass die Konvergenzordnung 1,618 ist, also fehler <= c|voriger fehler|^1,618? Vielleicht könnte man das etwas klarer formulieren und eventuell auch begründen... --Die vier Fragezeichen 07:36, 25. Mai 2010 (CEST)

Ja so wie du es schreibst ist es richtig. Ja man könnte es auch mehr ausformulieren. Vielleicht findet sich ja jemand der das macht, solange kannst du einen Blick in die englische Wikipedia werfen: http://en.wikipedia.org/wiki/Rate_of_convergence oder ich glaube man findet auch was im Buch von Schwarz etwas dazu: Hans R. Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik. 5. Auflage. Teubner, Stuttgart 2004, ISBN 3-519-42960-8. Vieleicht gibt es dass ja in deiner Bibliothek.--Flegmon 19:51, 26. Mai 2010 (CEST)

Man kann das auch experimentell nachprüfen: Wende die Methode z.B. auf f(x) = x + ln(x) in [0.1, 0.9] an, Du wirst sehen dass die Präzision $N(x_{n})=-\log _{10}|x_{n}/x^{*}-1|$ gerundet genau die Fibonacci-Folge 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... ergibt, von der man weiss dass lim F(n+1)/F(n) = Φ = (√(5)+1)/2 ! — MFH 22:05, 9. Mär. 2020 (CET)