GHMC-Mannigfaltigkeit

GHMC-Mannigfaltigkeiten (global hyperbolische maximal Cauchy-kompakte Mannigfaltigkeiten) sind ein geometrisches Konzept, das als einfaches Modell für (2+1)-dimensionale Gravitation verwendet wird.

Definition

Eine Lorentz-Mannigfaltigkeit heißt global hyperbolisch, wenn „ein Vorwärtsreisen in der Zeit nie in die Vergangenheit führt“, d. h. wenn es eine raumartige Hyperfläche (Cauchy-Fläche) gibt, die jede maximale kausale Kurve genau einmal trifft.

Eine d-dimensionale Lorentz-Mannigfaltigkeit $M$ heißt global hyperbolische maximal Cauchy-kompakte Mannigfaltigkeit, wenn sie global hyperbolisch ist, die Cauchy-Fläche kompakt ist und $M$ mit diesen Eigenschaften maximal ist, d. h. $M$ nicht isometrisch in eine größere global hyperbolische d-dimensionale Lorentz-Mannigfaltigkeit eingebettet werden kann.

Satz von Mess

Der Satz von Mess (nach Geoffrey Mess 1990) beschreibt die 3-dimensionalen GHMC-Mannigfaltigkeiten, die diffeomorph zu $S\times \left(0,1\right)$ für eine Fläche $S$ sind.

Seine Beschreibung verwendet die Identifikation des 3-dimensionalen Anti-de-Sitter-Raumes $AdS^{3}$ mit $PSL(2,\mathbb {R} )$ und seiner Isometriegruppe $PO_{0}(2,2)$ mit $SL(2,\mathbb {R} )\times SL(2,\mathbb {R} )$, unter der die Wirkung von $PO_{0}(2,2)$ auf $AdS^{3}$ der Wirkung von $SL(2,\mathbb {R} )\times SL(2,\mathbb {R} )$ auf $PSL(2,\mathbb {R} )$ durch Links- und Rechtsmultiplikation entspricht.

Mit dieser Identifikation erhält man jede GHMC-Struktur auf $S\times \left(0,1\right)$ wie folgt. Sei $(\rho _{L},\rho _{R})(\pi _{1}S)$ ein Paar Fuchsscher Gruppen. Die Wirkung von $(\rho _{L},\rho _{R})(\pi _{1}S)$ auf $\partial _{\infty }AdS^{3}$ lässt einen Kreis $\Lambda$ invariant, nämlich den Graphen eines die Wirkung von $\rho _{L}$ in die Wirkung von $\rho _{R}$ konjugierenden Homöomorphismus $\mathbb {R} P^{1}\to \mathbb {R} P^{1}$. Sei $\Omega \subset \mathbb {R} P^{3}$ das Komplement der Vereinigung aller $z^{\perp }$ (bzgl. der Lorentz-Metrik) für $z\in \Lambda$. Dann ist

$(\rho _{L},\rho _{R})(\pi _{1}S)\backslash \Omega$

eine GHMC-Mannigfaltigkeit diffeomorph zu $S\times \left(0,1\right)$ und der Satz von Mess besagt, dass jede GHMC-Struktur auf $S\times \left(0,1\right)$ auf diese Weise entsteht. Die Holonomiegruppen dieser GHMC-Strukturen werden auch als AdS-quasifuchssche Gruppen bezeichnet.

Literatur

• Thierry Barbot: Lorentzian Kleinian Groups. In: L. Ji, A. Papadopoulos, S.-T. Yau (Hrsg.): Handbook of group actions, Band 1. International Press and Higher Education Press, 2015, arxiv:1609.03863
• Lars Andersson, Thierry Barbot, Riccardo Benedetti, Francesco Bonsante, William M. Goldman, François Labourie, Kevin Scannell, Jean-Marc Schlenker: Notes on a Paper of Mess. In: Geometriae Dedicata, Band 126, 2007, S. 47–70, arxiv:0706.0640