Hilbert-Metrik

In der Geometrie sind Hilbert-Metriken gewisse Metriken auf beschränkten konvexen Teilmengen des euklidischen Raumes, die das Beltrami-Klein-Modell der hyperbolischen Geometrie verallgemeinern.

Definition

Eine kompakte konvexe Menge.

Sei $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ eine beschränkte, offene, konvexe Menge. Zu je zwei Punkten $x,y\in \Omega$ gibt es dann eine eindeutige Gerade durch $x,y$ und zwei eindeutige Schnittpunkte dieser Geraden mit dem Rand $\partial \Omega$. Die beiden Schnittpunkte seien mit $a,b$ bezeichnet, wobei $a$ näher an $x$ und $b$ näher an $y$ liege. Der Hilbert-Abstand $d_{H}$ ist dann auf $\Omega$ definiert durch die Formel

$d_{Hilb}(x,y):=\log {\frac {\parallel y-a\parallel .\parallel x-b\parallel }{\parallel x-a\parallel .\parallel y-b\parallel }}$

für $x\not =y$ und $d_{Hilb}(x,x)=0$.

Die Hilbert-Metrik stammt nicht immer von einer Riemannschen Metrik, aber immer von einer Finsler-Metrik definiert durch

$F(v_{x}):={\frac {d}{dt}}\mid _{t=0}d_{Hilb}(x,x+tv_{x})$

für $x\in \Omega \subset \mathbb {R} ^{n},v_{x}\in T_{x}\Omega \cong \mathbb {R} ^{n}$.

Eigenschaften

Im Folgenden seien $\Omega _{1},\Omega _{2}\subset \mathbb {R} ^{n}$ zwei kompakte, konvexe Mengen und $d_{1},d_{2}$ die den beiden Mengen zugeordneten Hilbert-Metriken.

• Aus $\Omega _{1}\subset \Omega _{2}$ folgt $d_{1}(x,y)\geq d_{2}(x,y)$ für alle $x,y\in \Omega _{1}$.
• Wenn es eine lineare Abbildung $A:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ mit $\Omega _{2}=A(\Omega _{1})$ gibt, dann ist $d_{1}(x,y)=d_{2}(Ax,Ay)$ für alle $x,y\in \Omega _{1}$.

Beispiele

• Sei $\Omega =\mathbb {D} ^{n}$ die Einheitskugel und $d_{Hyp}$ der Abstand im Beltrami-Klein-Modell des hyperbolischen Raumes, dann gilt

$d_{Hilb}=2d_{Hyp}$.

Projektive Geometrie

Sei $\Omega \subset \mathbb {R} P^{n}$ eine eigentliche, offene, konvexe Teilmenge des projektiven Raumes. (Eine Menge $\Omega \subset \mathbb {R} P^{n}$ heißt eigentlich, wenn es eine $\Omega$ enthaltende affine Karte $\Omega \subset U\cong V\subset \mathbb {R} ^{n}$ gibt, in der $\Omega$ einer beschränkten Menge $\Omega ^{\prime }\subset \mathbb {R} ^{n}$ entspricht.) Man definiert dann die Hilbert-Metrik auf $\Omega \subset \mathbb {R} P^{n}$ durch die Hilbert-Metrik auf $\Omega ^{\prime }\subset \mathbb {R} ^{n}$. Weil die Hilbert-Metrik invariant unter linearen Abbildungen ist, hängt die so definierte Metrik nicht von der Wahl der affinen Karte ab.

Innerhalb der projektiven Geometrie kann man $d_{Hilb}(x,y)$ interpretieren als das Doppelverhältnis der vier Punkte $a,x,b,y$ auf der durch $x$ und $y$ bestimmten projektiven Geraden.

Die Gruppe der Kollineationen

$Coll(\Omega )=\left\{g\in PGL(n+1,\mathbb {R} ):g\Omega =\Omega \right\}$

ist eine Lie-Gruppe und wirkt durch Isometrien der Hilbert-Metrik, sie lässt sich isomorph zu einer Untergruppe von $SL(n+1,\mathbb {R} )$ hochheben.

Anwendungen

Die Hilbert-Metrik auf $P(\mathbb {R} _{+}^{n})$ wird in Birkhoffs Beweis des Satzes von Perron-Fronenius verwendet.

Weblinks

• Images des Maths: Géométrie de Hilbert

Literatur

• Yves Benoist: A survey on divisible convex sets (PDF; 165 kB)
• Ludovic Marquis: Around groups in Hilbert geometry (PDF; 2,5 MB)