Diskussion:Äquilibrierung

Einleitung

Ich habe wieder in die Einleitung geschrieben, was die Konditionszahl anschaulich bedeutet. Das sollte Laien klar werden, ohne nachschlagen zu müssen, stand aber nirgendwo im Artikel. Bei der Formulierung „Ziel dieser Skalierung ist es, die Kondition des Gleichungssystems zu verringern, was sich auf viele Lösungsverfahren linearer Gleichungssysteme positiv auswirkt.“ ist nicht klar, was da gemeint ist: Numerik, Laufzeit oder sonst etwas? Abgesehen davon ist die Konditionszahl eine Eigenschaft der Matrix selbst und erstmal unabhängig von Lösungsverfahren, auch wenn manche Verfahren mit schlecht konditionierten Matrizen besser klarkommen als andere. -- Sdo 11:18, 23. Aug 2006 (CEST)

Das was jetzt da steht, ist allerdings seltsam: Eine Aequilibrierung stoert ja die Eingabedaten, davon zu sprechen, dass "was den Einfluss von Störungen der Eingabedaten (z. B. durch Rundungsfehler) auf die Lösung verringert" ist etwas seltsam. Die Konditionszahl ist auch nur interessant, wenn ich lineare Gleichungssysteme angucken will, als Eigenschaft einer Matrix alleine ist sie voellig uninteressant. --P. Birken 11:24, 23. Aug 2006 (CEST)

Hallo Sdo, Das Problem mit der jetzigen Formulierung ist das die Kondition(Abhängigkeit der Lsg. von Störungen der Eingangsdaten) eine Problemeigenschaft ist. Die ändert sich nicht egal welches Verfahren ich zur Lösung nehme egal ob mit oder auch ohne Vorkonditionierung. Die Abhängigkeit von Störungen von A und b bleibt die Gleiche. Wenn das Lösungsverfahren aber von der Kondition abhängt dann ist eine Vorkonditionierung sinnvoll. viele Grüße --Mathemaduenn 19:50, 23. Aug 2006 (CEST)

Gerade fällt mir auf: inhaltlich stimmt der Artikel auch nicht, Zeilen- oder Spaltenskalierung ist die Frage von rechts- oder linksvorkonditionierung, mit der Norm hat das aber erstmal nichts zu tun. Ich kann in jeder Norm sowohl Zeilen- oder Spaltenskalierung machen. --P. Birken 19:54, 23. Aug 2006 (CEST)

Wo ihr recht habt, habt ihr recht... – mir fällt aber im Moment auch keine genauere und trotzdem omataugliche Formulierung für die Einleitung ein.

@P. Birken: skalieren kann ich natürlich immer von rechts oder links, aber die Optimalitätsaussage bekomme ich bei Zeilenskalierung nur für die Zeilensummennorm, oder? So wie jetzt ist die Formulierung aber ganz gut, glaube ich. Und dein Bearbeitungskommentar „Auch Rechtsvorkonditionierung aendert die Loesung nicht, aber Verwirrung vorgebeugt“ verwirrt mich gerade etwas – wieso muss bei Spaltenskalierung die Lösung nicht passend mitskaliert werden? -- Sdo 23:04, 25. Aug 2006 (CEST)

Nein, Multiplikation der Gleichungssystems von Rechts funktioniert nicht, das geht nur von Links. Spaltenskalierung entspricht einer Rechtsvorkonditionierung. Ansonsten hast Recht, das steht ja auch so im Artikel :-) --P. Birken 17:55, 26. Aug 2006 (CEST)

Schwarz/Koeckler - Lit.

Hallo,

im genannten Buch ist imho die Skalierung mit einer Diagonalmatrix der Diagonalelemente gemeint. Das trifft ja auf die Äquilibrierung nicht zu. Noch eine Frage - In welchen Buch wird wirklich von Äquilibrierung gesprochen und nicht nur von Skalierung wie im angegebenen "A.Meister Numerik lin.GS"?

viele Grüße --Mathemaduenn 15:19, 25. Aug 2006 (CEST)

Keine Ahnung. Im Meister wird das, was hier Äquilibrierung heißt, nicht diskutiert, sondern nur die hier beschriebenen optimalen Skalierungen. als Literaturangabe ist es insofern nicht perfekt. --P. Birken 18:07, 25. Aug 2006 (CEST)

Hallo P.Birken, Ich hatte ja den Satz "Sind die Diagonaleinträge vor der Äquilibrierung von stark unterschiedlicher Grössenordnung, kann dies einen starken Effekt haben." rausgenommen. Zur Begründung: Im genannten Buch bezieht sich das auf die Skalierung mit der Inversen der Diagonalelemente. (ist zumindest meine Meinung) Was ja im Sinne des Artikels keine Äquilibrierung ist. Nimm z.B. ${\begin{pmatrix}\varepsilon &1\\0&1\end{pmatrix}}$ und mach eine Zeilenäquilibrierung. viele Grüße --Mathemaduenn 07:59, 1. Sep 2006 (CEST)

Die Aussage bleibt ja aber sonst auch noch richtig, siehe auch den Meister. --P. Birken 08:39, 1. Sep 2006 (CEST)

im Meister habe ich solch eine Aussage nicht gefunden lediglich im Schwarz/Koeckler (5.Auflage) S.527 Zitat: "Diese Skalierung hat in jenen Fällen, in denen die Diagonalelemente eine stark unterschiedliche Größenordnung haben, oft eine starke Reduktion der Konditionszahl zur Folge." Das diese bezieht sich dabei imho auf die vorher Beschriebene Skalierung über die Diagonalelemente die keine Skalierung durch Äquilibrierung ist, wie sie im Artikel beschrieben wird. --141.30.72.80 09:52, 1. Sep 2006 (CEST)

Stimmt, im Meister ist sogar ein Beispiel, wo das nicht der Fall ist. Ich formuliers mal so, dass das Problem klar wird. --P. Birken 10:32, 1. Sep 2006 (CEST)

Zusammenhang zu Pivotisierung darstellen

Laut https://lp.uni-goettingen.de/get/text/1018 ist eine Pivotisierung nur für äquilibrierte Matrizen sinnvoll: "Teilweise oder vollständige Pivotsuche sind nur für äquilibrierte Matrizen sinnvoll, d.h. wenn alle Zeilen- und Spaltenbetragssummen etwa gleich groß sind" biggerj1 (Diskussion) 01:39, 21. Jul. 2020 (CEST)