Satz von Erdős (Mengenlehre)
Der Satz von Erdős ist ein Lehrsatz der Mengenlehre, einem der Teilgebiete der Mathematik. Er geht auf den bedeutenden ungarischen Mathematiker Paul Erdős zurück.
Formulierung
Der Satz lässt sich angeben wie folgt:[1]
- Sei die Mächtigkeit des Kontinuums mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak {c}} bezeichnet.
- Sei weiter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A}
eine Teilmenge der reellen Koordinatenebene Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\R}^2}
, welche die folgende Eigenschaft habe:
- Jede zur Abszissenachse parallele Gerade von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\R}^2} schneide Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} in nur endlich vielen Punkten.
- Dann gilt unter der Annahme der Gültigkeit des Auswahlaxioms die folgende Existenzaussage:
- Es gibt in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\R}^2} eine zur Ordinatenachse parallele Gerade, welche die Komplementärmenge Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \complement {A}={\mathbb {R} }^{2}\setminus A} in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak {c}} Punkten schneidet.
Beweis
Zur Herleitung eines Widerspruchs sei die Annahme getroffen, dass die behauptete Existenzaussage falsch sei.
D. h.: Es gilt als angenommen:
- Die Komplementärmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \complement {A}} wird von jeder Parallelen der Ordinatenachse in weniger als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak {c}} Punkten geschnitten .
Dies ist dann insbesondere richtig für diejenigen Parallelen, welche die Geradengleichung:
- Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle (n\in \mathbb {N} )}
erfüllen.
Man hat also für alle
- Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle |\{n\}\times {\mathbb {R} }\cap \complement {A}|<{\mathfrak {c}}} .
Nun sei für
- Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle Q_{n}=\{y\in \mathbb {R} \mid (n,y)\in \complement {A}\}} .
Dann gilt
- Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \{n\}\times Q_{n}=\{n\}\times {\mathbb {R} }\cap \complement {A}}
und folglich
- .
Daraus ergibt sich unter Anwendung des Satzes von König[2]
- .
Damit muss
sein.
Folglich existiert ein dergestalt, dass für alle
- Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle y_{0}\notin Q_{n}}
und damit
gilt.
Dies jedoch bedeutet, dass die zur Abszissenachse parallele Gerade
die Teilmenge in unendlich vielen Punkten schneidet, was im Widerspruch zu der vorausgesetzten Eigenschaft von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} steht.
Damit erweist sich die obige Annahme als unhaltbar und folglich gilt die Behauptung.
Zusammenhang mit einem Resultat von Sierpiński
Der Satz von Erdős ist verbunden mit einem klassischen Theorem von Wacław Sierpiński aus dem Jahre 1919, welches auch als Zerlegungssatz von Sierpiński (englisch Sierpiński’s decomposition theorem) bekannt ist.[3]
- Die einfache Kontinuumshypothese
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2^{\aleph_0} = \aleph_1}
- ist logisch äquivalent mit der folgenden Aussage:
- Die reelle Koordinatenebene Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\R}^2} ist darstellbar als Vereinigungsmenge zweier Punktmengen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A, B \subseteq {\R}^2 } mit der Eigenschaft,
- dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} mit jeder beliebigen Parallelen der Abszissenachse und ebenso Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} mit jeder beliebigen Parallelen der Ordinatenachse
- höchstens abzählbar unendlich viele Schnittpunkte gemeinsam haben.
Ausgehend von diesem Zerlegungssatz hat Erdős gezeigt, dass unter der verschärften Annahme der Gültigkeit der Verallgemeinerten Kontinuumshypothese sein obiger Satz auf Mengen einer Mächtigkeit Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle >{\mathfrak {c}}} verallgemeinert werden kann.[6]
Siehe auch
Literatur
- Paul Erdős: Some Remarks on Set Theory IV. In: Michigan Mathematical Journal. Band 2 (1953–54), S. 169–173 (renyi.hu [PDF]). MR0067170
- Péter Komjáth: Set Teory: Geometric and Real. In: Ronald L. Graham, Jaroslav Nešetřil (Hrsg.): The Mathematics of Paul Erdős (= Algorithms and Combinatorics). Band 14. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1997, ISBN 3-540-61031-6, S. 460–466.
- Wacław Sierpiński: Cardinal and Ordinal Numbers. Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, Warschau 1958 (MR0095787).
- Wacław Sierpiński: Sur quelques propositions concernant la puissance du continu. In: Fund. Math. Band 38, 1951, S. 1–13 (matwbn.icm.edu.pl [PDF]). MR0048517
Einzelnachweise und Fußnoten
- ↑ Sierpiński, S. 125.
- ↑ Der Satz von König benötigt zu seinem Beweis das Auswahlaxiom, weswegen dieses auch hier vorausgesetzt wird.
- ↑ Komjáth, S. 460.
- ↑ Sierpiński: Fund. Math. Band 38, S. 6.
- ↑ Erdős: Michigan Mathematical Journal. Band 2, S. 169.
- ↑ Theorem 3. In: Michigan Mathematical Journal. Band 2, S. 170.