Benutzer:Rfzn/Matrix decomposition
Im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra ist eine Matrix-Zerlegung oder auch Matrix-Faktorisierung die Faktorisierung einer Matrix in ein Produkt von Matrizen. Es gibt verschiedene Arten von Matrix-Zerlegung, wobei jede bei einer bestimmten Klasse von Problemen Anwendung findet.
Beispiel
In der Numerik werden verschiedene Zerlegungen verwendet, um effiziente Matrix-Algorithmen zu realisieren.
Bei der Lösung eines linearen Gleichungssystems kann die Matrix mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens gelöst werden. Dieses zerlegt eine Matrix in eine obere Dreiecksmatrix L und eine untere Dreiecksmatrix U. Die Gleichungssysteme und erfordern weniger Additionen und Multiplikationen zur Lösung, verglichen mit dem ursprünglichen System .
Allerdings kann man bei ungenauer Arithmetik, z. B. bei Fließkomma-Zahlen, deutlich mehr Stellen benötigen.
In ähnlicher Weise drückt die QR-Zerlegung die Matrix als Produkt einer orthogonalen Matrix und einer oberen Dreiecksmatrix aus.
Das Gleichungssystem wird durch und das System durch „Rücksubstitution“ gelöst. Die Anzahl der erforderlichen Additionen und Multiplikationen ist etwa doppelt so hoch wie bem Gaußschen Eliminationsverfahren, es werden jedoch keine weiteren Stellen benötigt, da die QR-Zerlegung numerisch stabil ist. [[Kategorie:Matrix]] [[Kategorie:Mathematik]]
