Partielle molare Größe

Eine partielle molare Größe $E_{i}$ gibt an, wie viel ein Mol der $i$-ten Substanz in einer Mischung zu einer thermodynamischen Eigenschaft $E$ der Mischung beiträgt. Die partiellen molaren Größen sind nützlich bei der Berechnung der Eigenschaften von Mischungen.

Liegt eine homogene Phase vor, die eine Mischung aus $r$ Substanzen ist, dann ergibt sich eine extensive thermodynamische Eigenschaft $E$ der Phase als Summe der Beiträge der einzelnen Substanzen. Beispielsweise ist die gesamte innere Energie $U$ der Phase die Summe der partiellen molaren inneren Energien $U_{i}$ der in der Mischung enthaltenen Substanzen, multipliziert mit der jeweiligen vorhandenen Stoffmenge $n_{i}$:

$U=\sum _{i=1}^{r}n_{i}U_{i}$.

Ebenso ist das Volumen $V$ der Phase die Summe der partiellen molaren Volumina $V_{i}$ der in der Mischung enthaltenen Substanzen, multipliziert mit der jeweiligen Stoffmenge $n_{i}$:

$V=\sum _{i=1}^{r}n_{i}V_{i}$,

und so weiter für beliebige extensive Eigenschaften.

Aufgrund der Wechselwirkungen der Substanzen untereinander hängt der partielle molare Beitrag einer Substanz in der Regel auch von den Anteilen aller anderen Substanzen in der Mischung ab, so ist zum Beispiel ausführlich geschrieben

${U=n_{1}\,U_{1}(T,p,x_{2},x_{3},\dots ,x_{r})+n_{2}\,U_{2}(T,p,x_{1},x_{3},\dots ,x_{r})+\ldots +n_{r}\,U_{r}(T,p,x_{1},x_{2},\dots ,x_{r-1})}$

mit den Stoffmengenanteilen $x_{i}$.

Einführendes Beispiel

Das molare Volumen von reinem Wasser beträgt 18 cm³ pro Mol. Fügt man einem gegebenen Volumen Wasser ein Mol Wasser hinzu, so nimmt das Volumen um 18 cm³ zu. Die Volumina der beiden vereinigten Wassermengen sind additiv.

Fügt man das Mol Wasser jedoch einem gegebenen (großen) Volumen Alkohol hinzu, erhält man lediglich eine Volumenzunahme von 14 cm³. In diesem Fall sind die beiden Volumina nicht additiv. Das Mol Wasser trägt lediglich 14 cm³ zum Gesamtvolumen der Mischung bei, das partielle molare Volumen von Wasser in (fast) reinem Alkohol beträgt also 14 cm³/mol.

Fügt man das Mol Wasser einer Mischung aus Wasser und Alkohol hinzu, ergeben sich in Abhängigkeit vom Mischungsverhältnis andere Werte für das partielle molare Volumen des Wassers. Bei reinem Wasser sind wieder 18 cm³/mol erreicht. Auch das partielle molare Volumen des Alkohols in der Mischung ist wie das des Wassers mischungsabhängig.

Das Wasser leistet bei Mischung mit Alkohol einen geringeren Volumensbeitrag, weil das von den Wassermolekülen eingenommene Volumen von ihrer Umgebung abhängt. In einer Mischung mit einer großen Menge Alkohol ist jedes Wassermolekül vollständig von Alkoholmolekülen umgeben statt von anderen Wassermolekülen. Diese dichtere Anordnung führt zu einem geringeren Platzbedarf.

Allgemein sind Mischungseffekte (Volumenkontraktion, Mischungswärme usw.) darauf zurückzuführen, dass die mittleren Wechselwirkungen der Wasser- und Alkoholmoleküle miteinander in der Mischung verschieden sind von den mittleren Wechselwirkungen der Wassermoleküle untereinander im reinen Wasser und die mittleren Wechselwirkungen der Alkoholmoleküle untereinander im reinen Alkohol. Die partiellen molaren Größen erlauben eine quantitative Behandlung von Mischungseffekten.

Definition

Wie eingangs beschrieben, lässt sich eine extensive Eigenschaft $E$ einer Mischung beschreiben als Summe der mit den jeweiligen Stoffmengen gewichteten molaren partiellen Größen $E_{i}$ der Mischungsbestandteile. Die Feststellung dieses Zusammenhangs genügt jedoch nicht zur eindeutigen Definition der beteiligten partiellen molaren Größen $E_{i}$, da es unendlich viele Möglichkeiten gibt, die gewünschte Summe $E$ aus einzelnen Summanden zusammenzusetzen. Die Summenbedingung könnte allenfalls eines der $E_{i}$ eindeutig definieren, wenn die anderen bereits festgelegt sind. Die Definition der $E_{i}$ muss daher auf andere Weise erfolgen.

Die zu einer extensiven thermodynamischen Größe $E$ einer Mischung gehörige partielle molare Größe $E_{i}$ der $i$-ten Substanz der Mischung ist definiert durch

$E_{i}=\left({\frac {\partial E}{\partial n_{i}}}\right)_{T,\,p,\,n_{j\neq i}}$.

Sie ist also gleich der infinitesimalen Änderung der Größe $E$, die sich bei Hinzufügen einer infinitesimalen Menge der $i$-ten Substanz ergibt, dividiert durch die Anzahl der hinzugefügten Mole, wenn während des Hinzufügens die Temperatur, der Druck und die Molzahlen aller anderen Substanzen konstant gehalten werden.

Für das erwähnte partielle molare Volumen beispielsweise ist

$V_{i}=\left({\frac {\partial V}{\partial n_{i}}}\right)_{T,\,p,\,n_{j\neq i}}$.

Enthält die Phase nur eine einzige Substanz, sind die partiellen molaren Größen mit den molaren Größen identisch.

Übergang zu endlichen Anteilen

Rechnerische Betrachtung

Die Definition betrachtet die durch Hinzufügen einer infinitesimalen Stoffmenge verursachte infinitesimale Änderung $\mathrm {d} E_{i}$ der Eigenschaft $E$. Der Übergang zu den gesuchten endlichen molaren Beiträgen der in der fertigen Mischung vorhandenen Bestandteile scheint zunächst eine Integration zu erfordern. Diese wäre außerdem schwierig, weil jedes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{d}E_i} in komplizierter Weise von allen vorhandenen Substanzmengen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_1, \dots, n_r} abhängen kann, die sich ihrerseits beim allmählichen Zusammenfügen des Systems in komplizierter Weise ändern können. Es stellt sich jedoch heraus, dass der Zusammenhang zwischen den Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{d}E_i} und den Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_i} überraschend einfach ist.

Ausgangspunkt der Betrachtungen ist das Differential von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} , das als Funktion der Variablen Temperatur, Druck und Molzahlen der enthaltenen Substanzen aufgefasst wird. Für einen gegebenen Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (T, p, n_1, \dots, n_r)} der Phase ist allgemein

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\begin{alignat}{4} \mathrm{d}E(T, p, n_1, \dots, n_r) & = \left( \frac{\partial E}{\partial T} \right)_{p, \, n_1, \dots, n_r} \, \mathrm{d}T + \left( \frac{\partial E}{\partial p} \right)_{T, \, n_1, \dots, n_r} \, \mathrm{d}p + & \left( \frac{\partial E}{\partial n_1} \right)_{T, \, p, \, n_{j \neq 1}} \, \mathrm{d}n_1 & + \ldots + & \left( \frac{\partial E}{\partial n_r} \right)_{T, \, p, \, n_{j \neq r}} \, \mathrm{d}n_r \\ & = \left( \frac{\partial E}{\partial T} \right)_{p, \, n_1, \dots, n_r} \, \mathrm{d}T + \left( \frac{\partial E}{\partial p} \right)_{T, \, n_1, \dots, n_r} \, \mathrm{d}p + & E_1 \qquad \quad \mathrm{d}n_1 & + \ldots + & E_r \qquad \quad \mathrm{d}n_r \end{alignat}}} .

Man denke sich nun die Größe der Phase vervielfacht. Bei diesem Vorgang bleiben die Temperatur und der Druck unverändert (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{d}T = 0} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{d}p = 0} ), da sie intensive Größen sind. Das Differential, das die Änderung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} bei einer solchen Vergrößerung beschreibt, ist also

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{d}E = E_1 \, \mathrm{d}n_1 + \ldots + E_r \, \mathrm{d}n_r} .

Da die partiellen molaren Größen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_1, \dots , E_r} ebenfalls intensive Größen sind, bleiben sie auch unverändert. Die direkte Integration des Differentials liefert daher für die mit der Vergrößerung einhergehende Änderung des extensiven Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \Delta E = \int \mathrm{d}E & = \int E_1 \, \mathrm{d}n_1 + \ldots + \int E_r \, \mathrm{d}n_r \\ & = E_1 \int \mathrm{d}n_1 + \ldots + E_r \int \mathrm{d}n_r \\ & = E_1 \, \Delta n_1 + \ldots + E_r \, \Delta n_r \end{align}} ,

weil die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_1, \dots , E_r} als konstante Größen vor die jeweiligen Integrale gezogen werden können.

Geschieht die gedankliche Vermehrung um den Faktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} , dann nehmen auch die Zahlenwerte der extensiven Größen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E, n_1, \dots, n_r} auf das Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} -fache zu und es gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta E = k \, E - E = (k - 1) \, E} ,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta n_i = k \, n_i - n_i = (k - 1) \, n_i} .

Einsetzen in die vorhergehende Gleichung führt auf

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (k-1)E = E_1 (k-1) n_1 + \ldots + E_r (k-1) n_r}

und damit nach Kürzen auf

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E = n_1 E_1 + \ldots + n_r E_r} .

Dies ist der gewünschte Ausdruck für die Eigenschaft Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} der Phase im Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (T, p, n_1, \dots, n_r)} : Sie ist einfach die Summe der partiellen molaren Größen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_i} der beteiligten Substanzen, multipliziert mit den jeweiligen Stoffmengen. Dieser Zusammenhang wurde zu Beginn dieses Artikels als einführende Erläuterung der partiellen molaren Größen benutzt und ist hier aus der eigentlichen Definition abgeleitet.

Sowohl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} als auch die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_i} sind jeweils nur bis auf eine Konstante bestimmt. Sie müssen alle mit Bezug auf denselben Referenzzustand berechnet werden.

Division durch die Gesamt-Stoffmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} der Phase liefert das molare Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_m} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_m = \frac{E}{n} = \frac{n_1}{n} E_1 + \ldots + \frac{n_r}{n} E_r = x_1 E_1 + \ldots + x_r E_r}

mit den Stoffmengenanteilen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_i = n_i/n} .

Anschauliche Betrachtung

Anstelle der obigen mathematischen Herleitung kann auch wie folgt anschaulicher argumentiert werden:

Gegeben seien die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_A} der Substanz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} und die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_B} der Substanz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} . Es soll gezeigt werden, dass ihre Mischung das Volumen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V_{n_A, n_B} = n_A V_A + n_B V_B}

hat, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V_A} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V_B} die partiellen molaren Volumina sind. Die von der Zusammensetzung abhängigen Zahlenwerte von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V_A} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V_B} sind dabei diejenigen, die der Zusammensetzung der fertigen Mischung entsprechen. Die Mischung wird auf einem Umweg erstellt, auf dem die bekannten Eigenschaften der partiellen molaren Volumina benutzt werden können.

Es stehe als Hilfsmittel ein großes Reservoir einer Mischung aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} zur Verfügung, deren Zusammensetzung identisch ist mit jener der zu erstellenden Mischung, in der die Substanzen also im Verhältnis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_A / n_B} vorliegen. Fügt man die zur Verfügung stehende Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_A} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} dem Reservoir hinzu, bleibt dessen Zusammensetzung wegen seiner Größe während des Vorgangs praktisch konstant, so dass aus den bekannten Eigenschaften des partiellen molaren Volumens geschlossen werden kann, dass das Volumen des Reservoirs um den Betrag Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_A V_A} zunimmt. Fügt man anschließend die vorhandene Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_B} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} dem Reservoir hinzu, nimmt dessen Volumen um den Betrag Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_B V_B} weiter zu. Insgesamt hat das Volumen des Reservoirs um den Betrag Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V_{n_A, n_B} = n_A V_A + n_B V_B} zugenommen. Seine Zusammensetzung ist dieselbe geblieben wie in seinem Ursprungszustand, da die beiden Substanzen laut Voraussetzung in demselben Verhältnis hinzugefügt wurden, in dem sie auch im Ursprungszustand des Reservoirs vorhanden waren.

Nun soll der Mischung des Reservoirs eine Probe entnommen werden, die gerade die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_A} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} und die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_B} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} enthält. Eine solche Probe muss das Volumen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V_{n_A, n_B}} besitzen, denn nach Entnahme eines solchen Volumens ist das Reservoir auf seinen Ausgangszustand zurückgeführt: Es hat anschließend dasselbe Volumen und dieselbe Zusammensetzung wie zu Beginn, enthält daher auch dieselben Substanzmengen wie am Anfang. Das Hinzufügen der beiden Mengen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_A} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_B} ist durch diese Entnahme rückgängig gemacht, die entnommene Probe des Volumens Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V_{n_A, n_B}} enthält also genau diese Mengen.

Die entnommene Probe ist damit eine auf einem Umweg erstellte Mischung der Mengen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_A} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_B} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} , und sie hat das Volumen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V_{n_A, n_B}} . Da das Volumen eine Zustandsgröße ist, ist es unabhängig davon, auf welchem Wege die Mischung erstellt wurde. Das einfache Zusammenmischen der Ausgangsmengen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} hätte also dieselbe Mischung und dasselbe Volumen ergeben, was zu zeigen war.

Beispiel

Es seien zwei mischbare Substanzen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2} gegeben, die im reinen Zustand die molaren Enthalpien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_2} besitzen. Ihre partiellen molaren Enthalpien in einer Mischung, die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_1} Mol von Substanz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_2} Mol von Substanz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2} enthält, seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H_1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H_2} . Die Gesamtenthalpie der beiden Substanzen im unvermischten Zustand beträgt (weil die Enthalpien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_1 h_1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_2 h_2} extensive Größen sind)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_1 h_1 + n_2 h_2} .

Die Enthalpie der fertigen Mischung beträgt (gemäß Definition der partiellen molaren Enthalpien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H_1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H_2} )

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_1 H_1 + n_2 H_2} .

Die beim Mischungsvorgang aufgenommene oder freigesetzte Enthalpie ist die Mischungsenthalpie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta H} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \Delta H & = (n_1 H_1 + n_2 H_2) - (n_1 h_1 + n_2 h_2) \\ & = n_1 (H_1 - h_1) + n_2 (H_2 - h_2) \end{align}} .

Division durch die Stoffmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_1 + n_2} des gemischten Systems liefert die molare Mischungsenthalpie:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta h = x_1 (H_1 - h_1) + x_2 (H_2 - h_2)} ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2} die jeweiligen Stoffmengenanteile sind.

Die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_i} und die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H_i} hängen von Temperatur und Druck ab, die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H_i} hängen darüber hinaus von den Stoffmengenanteilen in der Mischung ab. Bei Kenntnis dieser Größen lässt sich die molare Mischungsenthalpie der Mischung sofort berechnen, es lässt sich also vorhersagen, ob beim Vermischungsvorgang Mischungswärme freigesetzt oder verbraucht wird.

Chemisches Potential

Das partielle molare Volumen und die partielle molare Enthalpie wurden als häufig auftretende Beispiele bereits genannt. Eine weitere oft anzutreffende partielle molare Größe ist das chemische Potential.

Wie im Artikel zur Gibbs-Energie näher erläutert, ist das Differential der Gibbs-Energie als Funktion ihrer natürlichen Variablen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_1, \dots, n_r} gegeben durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\mathrm{d}G(T, p, n_1, \dots, n_r) = \left( \frac{\partial G}{\partial T} \right)_{p, n_1, \dots, n_r} \mathrm{d}T + \left( \frac{\partial G}{\partial p} \right)_{T, n_1, \dots, n_r} \mathrm{d}p \, + \, \sum_{i=1}^r \left( \frac{\partial G}{\partial n_i} \right)_{T, p, n_{j \neq i}} \mathrm{d}n_i}} .

Die in jedem Summanden des letzten Terms auftretende partielle Ableitung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left( \frac{\partial G}{\partial n_i} \right)_{T, p, n_{j \neq i}} =: \mu_i}

wird auch als chemisches Potential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu_i} der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} -ten Substanz bezeichnet. Vergleich mit der Definition partieller molarer Größen zeigt, dass es sich auch jeweils um die partielle molare Gibbs-Energie der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} -ten Substanz handelt. Es folgt sofort, dass die Gibbs-Energie einer Mischung die Summe der mit den jeweiligen Stoffmengen multiplizierten chemischen Potentiale ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G = n_1 \mu_1 + \ldots + n_r \mu_r} ,

und dass die molare Gibbs-Energie einer Mischung die Summe der mit den jeweiligen Stoffmengenanteilen multiplizierten chemischen Potentiale ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{G}{n} = \frac{n_1}{n}\mu_1 + \ldots + \frac{n_r}{n}\mu_r = x_1 \mu_1 + \ldots + x_r \mu_r} .

Diese Zusammenhänge treffen unter den thermodynamischen Potentialen nur auf die Gibbs-Energie zu, weil sie als einziges Potential die Variablen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_1, \dots, n_r} als natürliche Variablen besitzt, die auch in der Definition der partiellen molaren Größen benutzt werden.

Notation

Die übliche Schreibweise als Großbuchstabe mit einem Index für die jeweilige Substanz, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_i} , entspricht der Empfehlung der IUPAC und erlaubt die Unterscheidung von der Gesamtgröße Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} der Mischung sowie der molaren Eigenschaft Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_\mathrm{m, i}} der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} -ten reinen Substanz. Falls dennoch eine Verdeutlichung nötig wird, empfiehlt die IUPAC die Notation mit Überstrich: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline E_i} .

Siehe auch

• Exzessvolumen

Weblinks

• Video: Partielle molare Größen und Gibbs-Duhem-Beziehung – Wie verändert sich eine Mischung bei Zugabe von 1 mol Komponente A?. Jakob Günter Lauth (SciFox) 2013, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/15675.