Binäre Exponentiation

Die binäre Exponentiation (auch Square-and-Multiply genannt) ist eine effiziente Methode zur Berechnung von natürlichen Potenzen, also Ausdrücken der Form $x^{k}$ mit einer natürlichen Zahl $k$.

Dieser Algorithmus wurde bereits um ca. 200 v. Chr. in Indien entdeckt und ist in einem Werk namens Chandah-sûtra niedergeschrieben.

Motivation

Um $z=x^{4}$ zu berechnen, kann man entweder $z=x\cdot x\cdot x\cdot x$ ausrechnen (drei Multiplikationen) oder $y=x\cdot x$, $z=y\cdot y$ (zwei Multiplikationen), also $z=(x^{2})^{2}$.

Ebenso können auch andere ganzzahlige Potenzen durch „fortgesetztes Quadrieren und gelegentliches Multiplizieren“ effizient berechnet werden.

Dieses Einsparen von Multiplikationen funktioniert sowohl für reelle Zahlen als auch für reellwertige Matrizen, elliptische Kurven und beliebige andere Halbgruppen.

Algorithmus

• Umwandlung des Exponenten $k$ in die zugehörige Binärdarstellung.
• Ersetzen jeder 0 durch Q und jeder 1 durch QM.
• Nun wird Q als Anweisung zum Quadrieren und M als Anweisung zum Multiplizieren aufgefasst.
• Somit bildet die resultierende Zeichenkette von links nach rechts gelesen eine Vorschrift zur Berechnung von $x^{k}$. Man beginne mit 1, quadriere für jedes gelesene Q das bisherige Zwischenergebnis und multipliziere es für jedes gelesene M mit $x$.

Da die Binärdarstellung von $k>0$ immer mit der Ziffer 1 beginnt – und so ebenfalls die Anweisung mit QM beginnt –, ergibt sich für die erste Anweisung QM in jedem Fall das Zwischenergebnis $1^{2}\cdot x=x$. Aus diesem Grund ergibt sich eine leicht vereinfachte Variante, bei der die erste Anweisung QM durch $x$ ersetzt wird.

Beispiel (Algorithmus)

Sei k = 23. Die Binärdarstellung von 23 lautet 10111. Daraus ergibt sich nach den Ersetzungen QM Q QM QM QM. Nach dem Streichen des führenden QM-Paares hat man Q QM QM QM. Daraus können wir nun ablesen, dass der Rechenvorgang folgendermaßen auszusehen hat: „quadriere, quadriere, multipliziere mit $x$, quadriere, multipliziere mit $x$, quadriere, multipliziere mit $x$“.

Formal sieht das Ganze so aus: $\left(\left((x^{2})^{2}\cdot x\right)^{2}\cdot x\right)^{2}\cdot x$ bzw. sukzessive geschrieben:

$x\;{\stackrel {\mathrm {Q} }{\longrightarrow }}\;x^{2}\;{\stackrel {\mathrm {Q} }{\longrightarrow }}\;x^{4}\;{\stackrel {\cdot x}{\longrightarrow }}\;x^{5}\;{\stackrel {\mathrm {Q} }{\longrightarrow }}\;x^{10}\;{\stackrel {\cdot x}{\longrightarrow }}\;x^{11}\;{\stackrel {\mathrm {Q} }{\longrightarrow }}\;x^{22}\;{\stackrel {\cdot x}{\longrightarrow }}\;x^{23}$

Man sieht am Beispiel, dass man sich mit Hilfe der binären Exponentiation einige Rechenschritte sparen kann. Anstatt von 22 Multiplikationen werden nur noch 7 benötigt, indem man viermal quadriert und dreimal mit $x$ multipliziert.

Pseudocode (Algorithmus)

Der Algorithmus ist in zwei Varianten dargestellt. Variante 1 verwendet eine if-Bedingung, um an den entsprechenden Stellen zu multiplizieren. Variante 2 baut die if-Bedingung implizit in den arithmetischen Ausdruck ein.

Variante 1	Variante 2
// Berechnet x^k // b ... binäre Darstellung von k // res ... Resultat der Berechnung function bin_exp(x,b) res = 1 for i = n..0 res = res^2 if b_i == 1 res = res * x end-if end-for return res end-function	// Berechnet x^k // b ... binäre Darstellung von k // res ... Resultat der Berechnung function bin_exp(x,b) res = 1 for i = n..0 res = res^2 * x^{b_i} end-for return res end-function

Alternativer Algorithmus

Man kann das Verfahren für eine Berechnung von Hand auch so gestalten, dass man zunächst die Basis oft genug quadriert und anschließend die richtigen Zahlen miteinander multipliziert. Dann ähnelt es der Russischen Bauernmultiplikation, welche die Multiplikation zweier Zahlen auf das Halbieren, Verdoppeln und Addieren von Zahlen zurückführt.

Dazu schreibt man den Exponenten links und die Basis rechts. Der Exponent wird schrittweise halbiert (das Ergebnis wird abgerundet) und die Basis schrittweise quadriert. Man streicht die Zeilen mit geradem Exponenten. Das Produkt der nichtgestrichenen rechten Zahlen ist die gesuchte Potenz.

Beispiel (alternativer Algorithmus)

218
18	2
9	4
4	16
2	256
1	65.536
Ergebnis	262.144 (= 4 · 65.536)

Pseudocode (alternativer Algorithmus)

Anders als bei dem vorherigen Ansatz werden hier die benötigten Potenzen von $x$ direkt aufmultipliziert. Diese Variante bietet sich an, wenn der Exponent $k$ nicht explizit in Binärdarstellung vorliegt. Zur Veranschaulichung kann die Gleichheit $x^{23}=x^{16}\cdot x^{4}\cdot x^{2}\cdot x$ betrachtet werden.

Bestimmt werden soll $x^{k}$, ohne $k$ in Binärdarstellung vorliegen zu haben.

Binäre Exponentiation
// Berechnet x^k // res … Resultat der Berechnung function res = bin_exp(x,k) res = 1 while k > 0 if k mod 2 == 1 res = res * x end-if x = x^2 k = k DIV 2 //Ganzzahlige Division (das Ergebnis wird abgerundet) end-while return res end-function

Rekursiver Algorithmus mit Herleitung

Jede natürliche Zahl $n$ lässt sich eindeutig in $n=2m+b$ zerlegen, wobei $b\in \{0,1\}$. Aufgrund der Potenzgesetze ergibt sich

${\begin{aligned}a^{n}&=a^{2m+b}\\&=(a^{m})^{2}a^{b}.\end{aligned}}$

Der letzte Ausdruck beinhaltet lediglich

• eine Potenzierung mit einem Exponenten $m$, der nur noch etwa halb so groß wie $n$ ist, welche rekursiv mit demselben Algorithmus berechnet werden kann,
• eine Quadrierung,
• eine Multiplikation,
• eine Potenzierung mit 0 oder 1 als Exponent.

Eine direkte Implementation in Haskell sähe wie folgt aus:

    a^0 = 1
    a^1 = a
    a^2 = a*a
    a^n = (a^m)^2 * a^b where (m, b) = n `divMod` 2

Die Funktion ^, die hier definiert wird, stützt sich also auf ein vorhandenes * für die Multiplikation, divMod für die Abspaltung der untersten Binärstelle des Exponenten und, rekursiv, sich selbst.

Geringfügige Optimierungen, wie etwa die Umwandlung in eine endrekursive Variante, führen im Wesentlichen zu oben genannten iterativen Algorithmen.

Binäre Modulo-Exponentiation

Beim Rechnen modulo einer natürlichen Zahl ist eine leichte Modifikation anwendbar, die verhindert, dass die berechneten Zahlen zu groß werden: Man bildet nach jedem Quadrieren und Multiplizieren den Rest. Die zuvor vorgestellten Algorithmen können leicht durch diese Moduloperationen erweitert werden. Dieses Verfahren wird beispielsweise bei RSA-Verschlüsselung angewendet.

Beispiel

218 mod 39
18	2
9	4
4	16
2	22 (= 256 mod 39)
1	16 (= 484 mod 39)
Ergebnis	25 (= 4 · 16 mod 39 = 218 mod 39)

Laufzeitanalyse

Bei der einfachen und langsamen Potenzierung von $x^{k}$ werden $(k-1)$ Multiplikationen benötigt. Bei der binären Exponentiation wird die Schleife lediglich $\log _{2}(k)$-mal durchlaufen ($\log _{2}(k)$ entspricht hierbei ungefähr der Länge der Zahl $k$ in der Binärdarstellung). In jedem Schleifendurchlauf kommt es zu einer Quadrierung (wobei die erste Quadrierung vernachlässigt werden kann) und eventuell einer Multiplikation. Asymptotisch werden $O(\log(k))$ Operationen (eventuell Langzahloperationen) benötigt, wogegen $O(k)$ Operationen bei der einfachen Potenzierung zu Buche schlagen. $O$ bezeichnet eine asymptotische obere Schranke für das Laufzeitverhalten des Algorithmus. Wie man leicht einsieht, ist die binäre Exponentiation sehr viel effizienter als das einfache Verfahren. Dieser verringerte Anspruch an die Rechenleistung ist bei großen Basen und Exponenten enorm.

Ähnliche Algorithmen

Die binäre Exponentiation muss nicht notwendig die multiplikationssparendste Berechnungsart einer Potenz sein. Um beispielsweise $z=x^{15}$ zu berechnen, kann man entweder gemäß binärer Exponentiation

$z=\left(\left((x^{2}\cdot x)^{2}\cdot x\right)^{2}\cdot x\right)$

berechnen (6 Multiplikationen), oder aber

$z=y^{3}=y\cdot y^{2}$ mit $y=x^{5}=x\cdot (x^{2})^{2}$

(insgesamt 5 Multiplikationen).

Implementierung in C++

Es wird $0^{0}:=1$ verwendet, wie in der Funktion pow aus der STL. Statt unsigned kann jeder beschränkte vorzeichenlose ganzzahlige Datentyp verwendet werden, falls nötig. Wird ein eigener Typ für Langzahlarithmetik (LZA) benutzt, so lässt sich h nicht wie hier bestimmen. Wichtig ist die Stelle (#), d. h. eine Bitmaske, die das höchstwertige Bit maskiert. Ob und wie dies effektiv möglich ist, hängt speziell vom LZA-Typ ab. Immer möglich ist das Kopieren des Wertes und das anschließende Löschen gesetzter Bits von hinten, bis die Kopie Null ist; oder ein anderes lineares Verfahren.

// b: basis
// e: Exponent
// Annahmen: Typ T besitzt  T operator*(T, T)  und eine 1.
template<typename T>
T bin_exp(T b, unsigned e)
{
    if (!e) return T(1);
    // Ab hier: e != 0, d, h. irgendein Bit in e ist 1.

    unsigned h = ~(~0u >> 1); // h = binär 100...0
    while (!(e & h)) h >>= 1;
    // h maskiert nun das erste gesetzte Bit in e. (#)
    T r = b;

    // solange weitere Bits zu prüfen sind (das erste wurde durch r = b bereits abgearbeitet),
    while (h >>= 1)
    {
        r *= r; // quadrieren
        if (e & h) r *= b; // falls Bit gesetzt, multiplizieren
    }
    // h == 0, d. h. alle Bits geprüft.
    return r;
}

Literatur

• Donald E. Knuth: The Art of Computer Programming. Vol 2. Addison-Wesley, 1998 (Section 4.6.3, S. 461).
• Jörg Arndt, Christoph Haenel: Pi. Algorithmen, Computer, Arithmetik. 2. Auflage. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-66258-8, S. 120–121.