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Die nach Carl Gustav Jacob Jacobi benannte jacobische Differentialgleichung ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form
Ein wichtiger Spezialfall ist die Euler-homogene Differentialgleichung (nach Leonhard Euler), auch Ähnlichkeitsdifferentialgleichung genannt[1],
Transformation auf Euler-homogene Differentialgleichung
Hier muss eine Fallunterscheidung danach gemacht werden, ob verschwindet oder nicht.
Nichtverschwindende Determinante
Wegen gibt es (eindeutige) mit
Dann folgt
Nun gilt: Für jede Lösung der Euler-homogenen Differentialgleichung
ist Lösung der ursprünglichen jacobischen Differentialgleichung, denn man erhält
Somit wird das Lösen einer jacobischen Differentialgleichung auf das Lösen einer Euler-homogenen Differentialgleichung zurückgeführt.
Verschwindende Determinante
Sei nun . Es sind drei Fälle zu unterscheiden.
- Der Fall
- Dieser Fall ist trivial, da die rechte Seite Differentialgleichung nicht mehr von abhängt.
- Der Fall
- Für alle Lösungen der separierten Differentialgleichung
- ist Lösung der jacobischen Differentialgleichung, denn es gilt
- Also ist hier das Verfahren der Trennung der Veränderlichen anwendbar.
- Der Fall
- Dies geht analog zum vorigen Fall: Für alle Lösungen der separierten Differentialgleichung
- ist Lösung der jacobischen Differentialgleichung.
Transformation der Euler-homogenen Gleichung auf Trennung der Veränderlichen
Gegeben sei eine Euler-homogene Differentialgleichung .
Für jede Lösung der separierten Differentialgleichung
ist Lösung der Euler-homogenen Differentialgleichung wegen
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y'(x) = z(x) + xz'(x) = g(z(x)) = g\left(\frac{y(x)}{x}\right)\ .}
Die Differentialgleichung für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z}
kann man mit dem Verfahren der Trennung der Veränderlichen weiter behandeln.
Literatur
- Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 3. Auflage. B.G. Teubner Stuttgart, 1995, ISBN 3-519-22227-2
Einzelnachweise
- ↑ Heidrun Günzel: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Oldenbourg-Verlag, 2008, ISBN 978-3486-58555-1, S. 55