Benutzer:Superdampfnudel/Kontiguität (Wahrscheinlichkeitstheorie)

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Kontiguität bezeichnet in der Wahrscheinlichkeitstheorie die Eigenschaft zweier Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen asymptotisch übereinstimmenden Träger zu besitzen. Anschaulich wird es dadurch unmöglich auch bei wachsendem Stichprobenumfang zu entscheiden durch welche der beiden Folgen beobachtete Daten erzeugt wurden. Kontiguität erweitert damit den Begriff der absoluten Stetigkeit auf Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen.

Das Konzept wurde ursprünglich von Lucien Le Cam im Rahmen seiner Beiträge zur abstrakten asymptotischen Wahrscheinlichkeitstheorie eingeführt.

Definition

Es sei $(\Omega _{n},{\mathcal {F}}_{n})$ eine Folge messbarer Räume, jeweils mit zwei Wahrscheinlichkeitsmaßen $P_{n}$ und $Q_{n}$ ausgestattet.

• Die Folge $Q_{n}$ heißt contiguous bezüglich $P_{n}$ (geschrieben $Q_{n}\triangleleft P_{n}$) falls für jede Folge $A_{n}$ messbarer Mengen, aus $P_{n}(A_{n})\rightarrow 0$ bereits $Q_{n}(A_{n})\rightarrow 0$ folgt.
• Die Folgen $P_{n}$ und $Q_{n}$ heißen (gegenseitig) contiguous (geschrieben $P_{n}\triangleleft \triangleright Q_{n}$ falls sowohl $Q_{n}$ contiguous bezüglich $P_{n}$ als auch $P_{n}$ contiguous bezüglich $Q_{n}$ ist.

Das Konzept der Kontiguität hängt mit der absoluten Stetigkeit von Maßen zusammen. Während letztere fordert, dass der Träger eines Maßes $P$ im Träger eines weiteren Maßes $Q$ enthalten ist, ersetzt die Kontiguität diese Anforderung mit einer asymptotischen Version: der Träger von $Q_{n}$ für große $n$ im Träger von $P_{n}$ enthalten.

Eigenschaften

• Der Zusammenhang zur absoluten Stetigkeit zweier Wahrscheinlichkeitsmaße ...
• Es ist möglich, dass $P_{n}$ für alle $n$ absolut stetig bezüglich $Q_{n}$ ist ohne, dass $Q_{n}\triangleleft P_{n}$ gilt.
• Mit Le Cam's drittem Lemma existiert eine Version des Satzes von Radon-Nikodým die absolute Stetigkeit durch Kontiguität ersetzt.
• Kontiguität kann mit der Konvergenz nach Maß in Zusammenhang gebracht werden. Genauer gilt $Q_{n}\triangleleft P_{n}$ genau dann, wenn aus $T_{n}\rightarrow 0$ in $P_{n}$-Wahrscheinlichkeit bereits $T_{n}\rightarrow 0$ in $Q_{n}$-Wahrscheinlichkeit folgt und zwar für alle Statistiken $T_{n}:\Omega _{n}\rightarrow \mathbb {R}$.

Siehe auch

• Mathematische Statistik
• Absolut stetiges Maß
• Lucien Le Cam

Additional literature

• Roussas, George G. (1972), Contiguity of Probability Measures: Some Applications in Statistics, CUP, Vorlage:ISBN.
• Scott, D.J. (1982) Contiguity of Probability Measures, Australian & New Zealand Journal of Statistics, 24 (1), 80–88.

External links

• Contiguity Asymptopia: 17 October 2000, David Pollard
• Asymptotic normality under contiguity in a dependence case
• A Central Limit Theorem under Contiguous Alternatives
• Superefficiency, Contiguity, LAN, Regularity, Convolution Theorems
• Testing statistical hypotheses
• Necessary and sufficient conditions for contiguity and entire asymptotic separation of probability measures R Sh Liptser et al 1982 Russ. Math. Surv. 37 107–136
• The unconscious as infinite sets By Ignacio Matte Blanco, Eric (FRW) Rayner
• "Contiguity of Probability Measures", David J. Scott, La Trobe University
• "On the Concept of Contiguity", Hall, Loynes

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