Pseudo-Orbit

In der Theorie dynamischer Systeme ist ein Pseudo-Orbit einer Iteration eine Folge von Punkten, von denen jeder den Bildpunkt des vorhergehenden Punktes annähert.

Bei der Modellierung dynamischer Systeme auf dem Computer erhält man wegen der unvermeidlichen Rundungsfehler in der Regel nur einen Pseudo-Orbit und keinen exakten Orbit.

Definitionen

Es sei $f\colon X\to X$ eine Abbildung eines metrischen Raumes auf sich.

Eine Folge $\left\{x_{i}\right\}_{i\in \mathbb {N} }$ ist ein $\epsilon$-Pseudo-Orbit für ein $\epsilon >0$ wenn für alle $i\geq 0$ die Ungleichung

$d(x_{i+1},f(x_{i}))<\epsilon$

gilt.

Eine Folge $\left\{x_{i}\right\}_{0\leq i\leq n-1}$ ist ein geschlossener oder periodischer $\epsilon$-Pseudo-Orbit der Länge $n$ für ein $\epsilon >0$ wenn für alle $0\leq i\leq n-2$

$d(x_{i+1},f(x_{i}))<\epsilon$

und darüber hinaus auch die Ungleichung

$d(x_{0},f(x_{n-1}))<\epsilon$

gilt.

Beschattung

Im Allgemeinen muss sich ein Pseudo-Orbit nicht durch echte Orbiten approximieren lassen. Unter gewissen Voraussetzungen ist dies aber doch möglich (Beschattungslemma), insbesondere für Pseudo-Orbiten in hyperbolischen Mengen.

Eine entsprechende Aussage für periodische Pseudo-Orbiten macht Anosovs Schließungslemma.

Literatur

• Dmitri Anossow: Geodesic flows on closed Riemann manifolds with negative curvature. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, No. 90 (1967). Translated from the Russian by S. Feder American Mathematical Society, Providence, R.I. 1969
• Rufus Bowen: On Axiom A diffeomorphisms. Regional Conference Series in Mathematics, No. 35. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1978. ISBN 0-8218-1685-3
• Rufus Bowen: Equilibrium states and the ergodic theory of Anosov diffeomorphisms. Second revised edition. With a preface by David Ruelle. Edited by Jean-René Chazottes. Lecture Notes in Mathematics, 470. Springer-Verlag, Berlin, 2008. ISBN 978-3-540-77605-5
• Charles Conley: The gradient structure of a flow. I. With a comment by R. Moeckel. Ergodic Theory Dynam. Systems 8^* (1988), Charles Conley Memorial Issue, 11–26, 9.

Weblinks

• Gunesch: Einfůhrung in dynamische Systeme