sl(2,R)

In der Mathematik ist die Lie-Algebra ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$ der Prototyp einer (reellen) einfachen Lie-Algebra.

Die ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$ ist die dreidimensionale Lie-Algebra der speziellen linearen Gruppe $SL(2,\mathbb {R} )$. Sie ist die spaltbare reelle Form der komplexen Lie-Algebra ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$.

Die Lie-Gruppe $SL(2,\mathbb {R} )$ hat vielfältige Anwendungen in Geometrie, Topologie, Darstellungstheorie, harmonischer Analysis, Zahlentheorie, Modulformen und Physik.

Kommutator-Relationen

${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$ ist die Lie-Algebra der spurlosen 2×2-Matrizen

${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )=\left\{A\in Mat(2,\mathbb {R} ):\operatorname {Spur} (A)=0\right\}$

mit dem Kommutator von Matrizen als Lie-Klammer.

Als Vektorraum wird sie von der Basis

$x={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},\quad h={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

aufgespannt: ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )=\langle \{x,y,h\}\rangle _{\mathbb {R} }$. Die Struktur als Lie-Algebra wird durch die folgenden Kommutator-Relationen festgelegt:

$[x,y]=h,\quad [h,x]=2x,\quad [h,y]=-2y$

Eigenschaften und Struktur

Einfachheit

${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$ ist eine einfache (insbesondere halbeinfache) Lie-Algebra.

Beweis: Sei ${\mathfrak {a}}$ ein nichttriviales Ideal in ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$ und sei $ax+bh+cy\in {\mathfrak {a}}\setminus 0$ mit $a,b,c\in \mathbb {R}$. Wenn $a=c=0$, dann $h\in {\mathfrak {a}}$, damit $2x=\left[h,x\right]\in {\mathfrak {a}}$ und $2y=\left[h,y\right]\in {\mathfrak {a}}$, also ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$. Also können wir $a\not =0$ oder $c\not =0$ annehmen, o. B. d. A. $a\not =0$. Aus $\left[y,\left[y,ax+bh+cy\right]\right]=\left[y,ah+2by\right]=ay$ folgt dann $y\in {\mathfrak {a}}$ und damit auch $h=\left[x,y\right]\in {\mathfrak {a}}$, also wieder ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$.

Killing-Form

Die Killing-Form von ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$ lässt sich explizit durch die Formel

$B(v,w)=4\operatorname {Spur} (vw)$

berechnen, es ist also

$B(x,x)=B(y,y)=0,\ B(h,h)=8$

$B(x,y)=4,\ B(x,h)=0,\ B(y,h)=0$.

Isomorphismus sl(2,R)=o(2,1)

Die adjungierte Darstellung von $SL(2,\mathbb {R} )$ auf ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$ erhält die Killing-Form. Weil die Killing-Form Signatur (2,1) hat, realisiert dies eine Abbildung

$Ad\colon SL(2,\mathbb {R} )\to O(2,1)$

und man kann zeigen, dass $Ad$ ein Gruppenisomorphismus $PSL(2,\mathbb {R} )\to SO(2,1)$ ist. Insbesondere ist die Lie-Algebra ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$ isomorph zu ${\mathfrak {so}}(2,1)$.

Cartan-Involution

Eine maximal kompakte Untergruppe der Lie-Gruppe $SL(2,\mathbb {R} )$ ist die Spezielle orthogonale Gruppe $K=SO(2)$, ihre Lie-Algebra ${\mathfrak {k}}={\mathfrak {so}}(2)$ ist die Lie-Algebra der schiefsymmetrischen Matrizen:

${\mathfrak {so}}(2)=\left\{A\in Mat(2,\mathbb {R} ):A^{T}=-A\right\}$.

Eine Cartan-Involution von ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$ ist gegeben durch

$\theta (A)=-A^{T}$.

${\mathfrak {k}}={\mathfrak {so}}(2)$ ist ihr Eigenraum zum Eigenwert $1$. Man erhält die Cartan-Zerlegung

${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}$,

wobei ${\mathfrak {p}}=\left\{A\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} ):A=A^{T}\right\}$ der Eigenraum zum Eigenwert $-1$ ist.

Iwasawa-Zerlegung

Eine Iwasawa-Zerlegung von ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$ ist

${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {n}}$

mit ${\mathfrak {k}}={\mathfrak {so}}(2),\ {\mathfrak {a}}=\left\{{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&-\lambda \end{pmatrix}}:\lambda \in \mathbb {R} \right\},\ {\mathfrak {n}}=\left\{{\begin{pmatrix}0&n\\0&0\end{pmatrix}}:n\in \mathbb {R} \right\}$.

Cartan-Unteralgebren

${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$ hat zwei nicht-konjugierte Cartan-Unteralgebren, nämlich

${\mathfrak {h}}_{0}=\mathbb {R} \left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right)$

und

${\mathfrak {h}}_{1}=\mathbb {R} \left({\begin{array}{cc}0&1\\-1&0\end{array}}\right)$.

Wurzelsystem

Das Wurzelsystem zu ${\mathfrak {h}}_{0}$ ist

$R=\left\{\alpha _{12}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\ \alpha _{21}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right\}$.

Die dualen Wurzeln sind

$\alpha _{12}^{*}{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&-\lambda \end{pmatrix}}=2\lambda ,\ \alpha _{12}^{*}{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&-\lambda \end{pmatrix}}=-2\lambda$.

Die zugehörigen Wurzelräume sind

${\mathfrak {g}}_{\alpha _{12}}=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\ {\mathfrak {g}}_{\alpha _{21}}=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$.

Als positive Weyl-Kammer kann man

${\mathfrak {h}}_{0}^{+}=\left\{{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&-\lambda \end{pmatrix}}:\lambda >0\right\}$

wählen. Dann ist $\alpha _{12}$ die (einzige) positive Wurzel und insbesondere eine einfache Wurzel.

Die Weyl-Gruppe ist die symmetrische Gruppe $S_{2}$.

Darstellungen von sl(2,R)

Jede Darstellung von ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$ entspricht durch Tensorieren mit $\mathbb {C}$ einer $\mathbb {C}$-linearen Darstellung von ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$, man erhält also alle Darstellungen von ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$ als Einschränkungen von Darstellungen der sl(2,C).

Weblinks

• Nicolas Perrin: The Lie Algebra ${\mathfrak {sl}}_{2}$ pdf