Maurer-Cartan-Form

Die Maurer-Cartan-Form ist eine in Differentialgeometrie und Mathematischer Physik häufig verwendete Lie-Algebra-wertige Differentialform auf Lie-Gruppen. Sie ist benannt nach dem deutschen Mathematiker und Hochschullehrer Ludwig Maurer und dem französischen Mathematiker Élie Cartan.

Definition

Sei $G$ eine Lie-Gruppe, ${\mathfrak {g}}=T_{e}G$ ihre Lie-Algebra. Für $g\in G$ induziert die Links-Multiplikation

$L_{g^{-1}}:G\rightarrow G$

$L_{g^{-1}}(h):=g^{-1}h$

das Differential

$(DL_{g^{-1}})_{g}:T_{g}G\rightarrow T_{e}G={\mathfrak {g}}$.

Die Maurer-Cartan-Form $\omega \in \Omega ^{1}(G,{\mathfrak {g}})$ ist definiert durch

$\omega (v):=(DL_{g^{-1}})_{g}(v)$

für $v\in T_{g}G,g\in G$.

Maurer-Cartan-Gleichung

Die Maurer-Cartan-Form erfüllt die Gleichung

$d\omega +{\frac {1}{2}}\left[\omega ,\omega \right]=0$.

Hierbei ist der Kommutator Lie-algebra-wertiger Differentialformen durch

$[\omega \wedge \eta ](v_{1},v_{2})=[\omega (v_{1}),\eta (v_{2})]-[\omega (v_{2}),\eta (v_{1})]$

und die äußere Ableitung $d\omega$ durch

$d\omega (X,Y)=X(\omega (Y))-Y(\omega (X))-\omega ([X,Y])$

definiert.