Misiurewicz-Punkt

Der Misiurewicz-Punkt (auch Misiurewicz-Thurston-Punkt) ist nach dem polnischen Mathematiker Misiurewicz benannt. Ein solcher Punkt wird berechnet, um die Ähnlichkeit einer zusammenhängenden Julia-Menge mit dem Rand der Mandelbrot-Menge für den gleichen Misiurewicz-Punkt in grafischer Darstellung nachzuweisen. In einer Veröffentlichung über die Ähnlichkeit der Mandelbrot-Menge und Julia-Menge zeigte Tan Lei, dass die an einem Misiurewicz-Punkt gelegene Darstellung der Mandelbrot-Menge, bis auf einen Vergrößerungsfaktor und eine Drehung, ein deformiertes Abbild der Julia-Menge an demselben Misiurewicz-Punkt ist.

Des Weiteren werden Misiurewicz-Punkte für die grafische Darstellung der Selbstähnlichkeit der Mandelbrot-Menge, Multibrot-Menge und bei Fraktalen verwendet.

Definition

In der Literatur findet sich folgende Definition für den Misiurewicz-Punkt:

Der Parameterwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_0} ist genau dann ein Misiurewicz-Punkt, wenn der präperiodische Orbit in einen periodischen Orbit mündet.

Diese Definition basiert auf Eigenschaften einer rekursiven Folge, die im Folgenden erläutert werden.

Für ein komplexes quadratisches Polynom sei eine Rekursion in der Darstellung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_c \colon \overline{\Complex} \mapsto \overline{\Complex}, \, z \mapsto z^2 + c } gegeben. Der Startwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z_0=0} ist ein fest vorgegebener Anfangswert und der komplexe Parameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c} ist eine frei wählbare Variable. Mit diesen Festlegungen hat die rekursive Folge folgende Form:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_c^0(0) \mapsto f_c^1(0) \mapsto f_c^2(0) \mapsto f_c^3(0) \mapsto \cdots \mapsto f_c^n(0) } .

Hierbei bedeutet $f_{c}^{0}=z_{0}$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_c^n } die n-malige Hintereinanderausführung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_c} und darf nicht als n-te Potenz aufgefasst werden.

Sei nun der komplexe Parameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c} für die weitere Berechnung auf den Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_0 } festgelegt und zur Abkürzung, dort wo es sinnvoll ist, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_c^l(c_0)=\alpha} . Dann hat die rekursive Folge für die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l} -te und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} -te Hintereinanderausführung, unter der Bedingung, dass ein Misiurewicz-Punkt vorliegt, die Darstellung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 \mapsto c_0 \mapsto f_c(c_0) \mapsto \cdots \mapsto f_c^l(c_0)=\alpha \mapsto f_c (f_c^l(c_0))= f_c(\alpha) \mapsto \cdots \mapsto f_c^{p}(\alpha)=f_c (\alpha) \mapsto \cdots} .

Die Eigenschaften dieser Folge lassen sich wie folgt zusammenfassen:

• Bis zum $l$-ten Folgenglied wird ein präperiodischer Orbit erzeugt. Der präperiodische Orbit hat die Darstellung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{0, c_0, f_c(c_0), \cdots , f_c^l(c_0) \} } und es gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l \geq 1} , da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_0} Bestandteil des präperiodischen Orbit sein muss.
• Ab dem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} -ten Folgeglied entsteht ein zyklischer Orbit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma = \{ f_c^p(\alpha), \cdots, f_c^{2p-1}(\alpha) \}} und daher muss Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p \geq 1} sein.
• Mittels Induktion kann gezeigt werden, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_c^{k\cdot p}(\alpha) = f_c^p(\alpha)} für ein beliebiges Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k \isin \N} gilt.

Beispiele

• Für den Startwert Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle c=i} ergibt sich für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_i \colon\ z \mapsto z^2 + i\ } mit $z_{0}=0$ die rekursive Folge:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 \ \mapsto\ i \ \mapsto\ i-1 \ \mapsto -i \ \mapsto\ i-1 \ \mapsto \ldots \mapsto\ i-1\ \mapsto -i\ \mapsto\ i-1 \ \mapsto \ldots }  .

Der präperiodische Orbit lautet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{0, i \}} und mündet in einen periodischen Orbit Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \gamma =\{i-1,-i\}} . Demnach ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} ein Misiurewicz-Punkt.

• Bei einem Startwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c=-\tfrac12} lautet für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_{-1/2} \colon\ z \mapsto z^2-\tfrac12 } mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z_0=0} die rekursive Folge:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0\ \mapsto -\tfrac12\ \mapsto -\tfrac14\ \mapsto -\tfrac{7}{16}\ \mapsto -\tfrac{79}{256}\ \mapsto \ldots }  .

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c=-\tfrac12} ist kein Misiurewicz-Punkt, denn es existiert kein präperiodischer Orbit und kein periodischer Orbit.

Literatur

• Dierk Schleicher: On Fibers and Local Connectivity of Mandelbrot and Multibrot Sets, in: M.Lapidus, M. van Frankenhuysen (eds): Fractal Geometry and Applications: A Jubilee of Benoît Mandelbrot. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 72, American Mathematical Society (2004), 477–507, 1999, pdf