Quadratwurzel aus 3

Wurzel 3 als Länge der Diagonale eines Würfels		Wurzel 3 als Länge der Höhe eines gleichseitigen Dreiecks

Wurzel 3 im Koordinatensystem

Die Quadratwurzel aus 3 (geschrieben ${\sqrt {3}}$) ist die positive, reelle Zahl, die mit sich selbst multipliziert 3 ergibt. Die Wurzel von 3 ist eine irrationale Zahl. Sie ist eine mathematische Konstante, auch bekannt unter dem Namen Theodorus-Konstante, benannt nach Theodoros von Kyrene.

Näherungsweise gilt: ${\sqrt {3}}\approx 1{,}7320508$

Ihre Kettenbruchentwicklung ist ${\sqrt {3}}=$ [1;1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,…].

Es ist auch ${\sqrt {3}}=(4\cos ^{2}{\tfrac {\pi }{12}})-2$ und ${\sqrt {3}}=\tan {\tfrac {\pi }{3}}.$

Beweis der Irrationalität

Angenommen, ${\sqrt {3}}$ wäre rational. Dann könnte man die Zahl als Bruch zweier teilerfremder ganzer Zahlen $a$ und $b$ schreiben:

${\sqrt {3}}={a \over b}$.

Durch Quadrieren der Gleichung erhält man

$3={a^{2} \over b^{2}}$

daraus folgt

$3b^{2}=a^{2}.$

Aber dann ist für eine ganze Zahl $p$

$a=3p,$

weil $b^{2}$ eine ganze Zahl ist und damit $a^{2}/3$ eine ganze Zahl sein muss und damit auch 3 als Teiler von $a$ existieren muss.

Daraus folgt wieder

$3=9{p^{2} \over b^{2}}$,

also

$b^{2}=3p^{2}$

Aber dann ist auch für eine ganze Zahl $q$

$b=3q$,

was einen Widerspruch bedeutet, weil $a$ und $b$ teilerfremd sind.

Nachkommastellen

Die ersten 100 Nachkommastellen:

1,7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 1690880003 7081146186 7572485756

Weitere Dezimalstellen finden sich auch unter Folge A002194 in OEIS.

Der derzeitige Weltrekord der Berechnung der Nachkommastellen (vom 9. Juni 2019) liegt bei 2.000.000.000.000 und wurde von Hiroyuki Oodaira (大平 寛之) erzielt.

Anwendung

Das Verhältnis der Seitenlängen a und r dieses Rechtecks im Kreis ist ${\tfrac {\sin {60^{\circ }}}{\cos {60^{\circ }}}}={\sqrt {3}}.$

• Das Verhältnis zwischen der Diagonale eines dreidimensionalen Würfels und der Kantenlänge beträgt ${\sqrt {3}}.$
• Die Distanz zwischen zwei gegenüberliegenden Seiten eines regulären Sechsecks mit der Seitenlänge a beträgt $a{\sqrt {3}}$, oder anders gesagt, das Doppelte des Inkreisradius $a{\frac {\sqrt {3}}{2}}.$
• Der Verkettungsfaktor, das Verhältnis von Phasenspannung (230 V) zu Außenleiterspannung (400 V), beträgt bei Dreiphasenwechselstrom ${\sqrt {3}}.$
• Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge a beträgt $a{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}$, sein Flächeninhalt ${\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}.$

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Theodorus’s Constant. In: MathWorld (englisch).
• Folge A028257 in OEIS (Engel-Entwicklung (englisch
  Engel expansion
  ) von √3)