Halbeinfache Lie-Algebra

Halbeinfache Lie-Algebren werden in der mathematischen Theorie der Lie-Algebren untersucht. Die endlichdimensionalen, halbeinfachen, komplexen Lie-Algebren lassen sich vollständig klassifizieren. Sie setzen sich aus einfachen Lie-Algebren zusammen, woher ihr Name resultiert. Diese Theorie geht im Wesentlichen auf Arbeiten von Wilhelm Killing und Élie Cartan Ende des 19. Jahrhunderts zurück. Die heute zur Klassifikation verwendeten Dynkin-Diagramme wurden 1947 von Eugene Dynkin eingeführt. Wesentliche Teile der Theorie finden sich im Standardwerk von James E. Humphreys über Darstellungen von Lie-Algebren aus dem Jahre 1972, dort fehlt die Beschreibung der sogenannten exzeptionellen Lie-Algebren. Diese kann man in einem älteren Lehrbuch von Richard D. Schafer über nicht-assoziative Algebren aus dem Jahre 1966 finden. Das unten angegebene Lehrbuch von Roger Carter enthält eine modernere, leicht zugängliche Darstellung.

Definitionen und Charakterisierungen

Wir betrachten hier endlichdimensionale Lie-Algebren $L$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ der Charakteristik $0$, der Körper $\mathbb {C}$ der komplexen Zahlen ist das prominenteste Beispiel. Manche der folgenden Ausführungen kommen mit schwächeren Voraussetzungen an den Grundkörper aus, aber an einigen Stellen der Theorie benötigt man die Existenz von Eigenwerten und daher die algebraische Abgeschlossenheit, und die Division durch ganze Zahlen und daher die Charakteristik $0$.

Es gibt eine Reihe äquivalenter Möglichkeiten, halbeinfache Lie-Algebren zu definieren. Eine Lie-Algebra heißt einfach, falls sie nicht abelsch ist und außer dem Nullraum und sich selbst keine weiteren Ideale enthält. Die namensgebende Definition lautet:

• Eine Lie-Algebra heißt halbeinfach, wenn sie eine direkte Summe einfacher Ideale ist.

Eine alternative Beschreibung verwendet das Radikal $\mathrm {Rad} (L)$ einer Lie-Algebra $L$, das sich als größtes auflösbares Ideal in $L$ definieren lässt.

• Eine Lie-Algebra ist genau dann halbeinfach, wenn ihr Radikal der Nullraum ist.

Daraus ergibt sich sofort

• Eine Lie-Algebra ist genau dann halbeinfach, wenn sie keine vom Nullraum verschiedenen auflösbaren Ideale enthält.
• Eine Lie-Algebra ist genau dann halbeinfach, wenn sie keine vom Nullraum verschiedenen abelschen Ideale enthält.

Ist $\mathrm {ad} :L\rightarrow {\mathfrak {gl}}(L)$ die adjungierte Darstellung, die jedes $x\in L$ auf den durch $(\mathrm {ad} \,x)(y):=[x,y]$ definierten Endomorphismus auf $L$ abbildet, so wird durch $\kappa (x,y):=\mathrm {Spur} ((\mathrm {ad} \,x)(\mathrm {ad} \,y))$ eine symmetrische Bilinearform auf $L$ definiert, die nach Wilhelm Killing benannte Killing-Form.

• Eine Lie-Algebra ist genau dann halbeinfach, wenn ihre Killing-Form nicht-ausgeartet ist.

Dieses Cartan-Kriterium ist prinzipiell ein Verfahren zur Überprüfung der Halbeinfachheit, auch wenn dies im Einzelfall sehr mühsam sein kann. Man bestimme die Killing-Form, genauer die darstellende Matrix bzgl. einer Basis. Die Lie-Algebra ist genau dann halbeinfach, wenn die Determinante dieser Matrix nicht 0 ist.

Beispiele

Das einfachste Beispiel ist die dreidimensionale, spezielle, lineare Lie-Algebra

${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )=\{z\in \mathrm {Mat} (2,\mathbb {C} )|\,\mathrm {Spur} (z)=0\}$

mit der Basis

$x={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad h={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$.

Bezüglich der angegebenen Basis haben die Adjungierten der Basis-Elemente folgende Matrix-Darstellungen, die wir als Gleichheit schreiben: $\mathrm {ad} \,x\,=\,{\begin{pmatrix}0&-2&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}},\quad \mathrm {ad} \,h\,=\,{\begin{pmatrix}2&0&0\\0&0&0\\0&0&-2\end{pmatrix}},\quad \mathrm {ad} \,y\,=\,{\begin{pmatrix}0&0&0\\-1&0&0\\0&2&0\end{pmatrix}}$.

Dies liest man aus den Kommutatorbeziehungen der Basis-Elemente ab. Da zum Beispiel

$(\mathrm {ad} \,h)(x)=[h,x]={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}=2x$,

ergibt sich die erste Spalte der Matrix-Darstellung von $\mathrm {ad} \,h$ usw. Die darstellende Matrix der Killing-Form besteht definitionsgemäß aus den Spuren aller möglichen Produkte dieser 3er-Matrizen und man erhält nach einiger Rechnung ${\begin{pmatrix}0&0&4\\0&8&0\\4&0&0\end{pmatrix}}$ mit Determinante −128. Also ist ${\mathfrak {sl}}(2,C)$ nach dem Killing-Form Kriterium halbeinfach. Man kann leicht zeigen, dass ${\mathfrak {sl}}(2,C)$ sogar einfach ist, was die aufwändige Rechnung einsparen würde, aber wir werden dieses Beispiel unten noch einmal aufgreifen.

Da wir im Rahmen der Klassifikation alle halbeinfachen Lie-Algebren angeben werden, erübrigen sich hier weitere Beispiele.

Die allgemeine lineare Lie-Algebra ${\mathfrak {gl}}(\mathbb {C} ^{n})$ ist nicht halbeinfach, denn die Vielfachen der Einheitsmatrix bilden ein abelsches Ideal. Dieses ist gleich dem Radikal dieser Algebra.

Grundlegende Eigenschaften

Zunächst kann man aus jeder Lie-Algebra eine halbeinfache konstruieren:

• Für jede Lie-Algebra $L$ ist die Quotientenalgebra Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L/\mathrm{Rad}(L)} halbeinfach.

Die obige Liste der äquivalenten Charakterisierungen stellt gleichzeitig eine Liste von Eigenschaften halbeinfacher Lie-Algebren dar. Weitere Eigenschaften einer halbeinfachen Lie-Algebra Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} sind:

• Ideale und homomorphe Bilder sind wieder halbeinfach.
• Das Zentrum von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} ist der Nullraum, denn das Zentrum ist ein abelsches Ideal.
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L\, =\, [L,L]} , das heißt, die von allen Produkten erzeugte Unteralgebra fällt mit der Algebra selbst zusammen.
• Nach dem Satz von Weyl ist jede endlichdimensionale Darstellung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} vollständig reduzibel.
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{ad}\,L\,=\, \mathrm{Der}(L)} , das heißt, die Lie-Algebra der Derivationen auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} stimmt mit dem Bild der adjungierten Darstellung überein, kurz alle Derivationen auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} sind inner.
• Die Cartan-Unteralgebren von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} sind genau die maximalen Unteralgebren aus diagonalisierbaren Elementen. Diese Unteralgebren sind abelsch.

Klassifikation

Einleitung

Im Folgenden betrachten wir nur Lie-Algebren über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik 0. Die endlichdimensionalen, halbeinfachen unter ihnen lassen sich vollständig klassifizieren. Dazu wird jeder solchen Algebra ein geometrisches Objekt, ein sogenanntes reduziertes Wurzelsystem, zugeordnet. Dabei handelt es sich um ein endliches Erzeugendensystem eines euklidischen Vektorraums mit einschränkenden Bedingungen für Winkel und Längenverhältnisse unter den erzeugenden Vektoren. Dann zeigt man, dass durch dieses Wurzelsystem die Isomorphie-Klasse der halbeinfachen Lie-Algebra eindeutig bestimmt ist und dass es zu jedem solchen Wurzelsystem eine zugehörige halbeinfache Lie-Algebra gibt. Die einfachen Lie-Algebren, die nach obiger Definition ja die Bausteine der halbeinfachen bilden, lassen sich alle angeben; es handelt sich um vier unendliche Reihen einfacher Lie-Algebren sowie um fünf weitere, sogenannte exzeptionelle, Lie-Algebren. Jede endlichdimensionale, halbeinfache Lie-Algebra ist isomorph zu einer endlichen direkten Summe solcher einfacher Lie-Algebren.

Konstruktion des Wurzelsystems

Zu einer endlichdimensionalen, halbeinfachen Lie-Algebra Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} konstruieren wir wie folgt ein reduziertes Wurzelsystem. Man wähle eine Cartan-Unteralgebra Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} . Alle Elemente aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{ad}\,H} sind simultan diagonalisierbar, das heißt, es gibt endlich viele lineare Funktionale Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} , für die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L_\alpha:=\{x\in L|[hx]=\alpha(h)x\,\forall h\in H\}} nicht der Nullraum ist, und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} ist die Vektorraumsumme dieser Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L_\alpha} . Die vom Nullfunktional verschiedenen Funktionale Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L_\alpha} bilden ein endliches Erzeugendensystem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Phi\subset H^*} im Dualraum von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} . Das Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Q} -Erzeugnis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_\Q} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Phi} trägt die zur auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} nicht-ausgearteten Killing-Form duale Bilinearform Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\cdot,\cdot)} . Beachte, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} als Körper der Charakteristik 0 den Primkörper Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Q} enthält. Diese Bilinearform lässt sich zu einer positiv definiten symmetrischen Bilinearform auf den Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} -Vektorraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E=\R\otimes_\Q E_\Q} erweitern, ebenso wie alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha\in \Phi} , deren Erweiterungen mit demselben Namen bezeichnet seien. Man kann zeigen, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E,\,(\cdot,\cdot),\, \Phi} ein reduziertes Wurzelsystem bilden.

Beispiel

Zur Verdeutlichung der angegebenen Konstruktion greifen wir obiges Beispiel der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L = \mathfrak{sl}(2,C)} noch einmal auf. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H:= \Complex \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} = \left\{\begin{pmatrix}z&0\\0&-z\end{pmatrix}\bigg|\, z\in \Complex\right\}} ist eine Cartan-Unteralgebra, die Diagonalisierbarkeit von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{ad}\, h} liest man mühelos an obiger Matrix-Darstellung ab. Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} eindimensional ist und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{ad}\, h} die Eigenwerte 2, 0 und −2 hat, sind die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L_\alpha \neq \{0\}} genau für die Funktionale Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha_2:\,zh\mapsto 2z} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha_0:\,zh\mapsto 0} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha_{-2}:\,zh\mapsto -2z} vom Nullraum verschieden, es ist also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Phi = \{\alpha_2,\alpha_{-2}\}} . Damit besteht das Wurzelsystem aus einem Vektor zusammen mit seinem Negativen. Das ist ohnehin klar, wenn man weiß, dass dies bis auf Isomorphie das einzige eindimensionale, reduzierte Wurzelsystem ist.

Unabhängigkeit von der Cartan-Unteralgebra

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi:L\rightarrow L'} ein Lie-Algebren-Isomorphismus, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} wie oben, so ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H':=\varphi(H)\subset L'} ebenfalls eine Cartan-Unteralgebra und obige Konstruktion für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L',H'} liefert ein isomorphes Wurzelsystem, im Wesentlichen weil man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi} durch die gesamte Konstruktion ziehen kann.

Die Konstruktion eines Wurzelsystems verwendet aber die Wahl einer Cartan-Unteralgebra Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} . Damit man hier eine nur von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} abhängige Isomophie-Invariante erhält, muss man zeigen, dass jede andere Cartan-Unteralgebra zu einem isomorphen Wurzelsystem führt. Hier hilft der sogenannte Konjugationssatz weiter, für den keine Halbeinfachheit erforderlich ist:

• Für eine endlich-dimensionale Lie-Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper sind alle Cartan-Unteralgebren zueinander konjugiert.

Ist also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H'} neben Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} eine weitere Cartan-Unteralgebra, so gibt es einen Isomorphismus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi:L\rightarrow L} , sogar eine Konjugation, mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H'=\varphi(H)} , und die eingangs gemachte Bemerkung zeigt, dass die Wahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H'} zu isomorphen Wurzelsystemen führen.

Fazit: Die oben beschriebene Konstruktion eines reduzierten Wurzelsystems ist eine Isomorphie-Invariante der Lie-Algebra Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} , das heißt, isomorphe, endlichdimensionale, halbeinfache Lie-Algebren haben isomorphe Wurzelsysteme.

Der Isomorphiesatz

Die Dynkin-Diagramme sind den Wurzelsystemen zugeordnete Graphen.

Bislang wissen wir, dass isomorphe, endlichdimensionale, halbeinfache Lie-Algebren isomorphe reduzierte Wurzelsysteme besitzen. Der sogenannte Isomorphiesatz sagt aus, dass umgekehrt zwei endlichdimensionale, halbeinfache Lie-Algebren mit isomorphen reduzierten Wurzelsystemen ihrerseits isomorph sind (beachte die Annahmen über den Grundkörper).

Die reduzierten Wurzelsysteme kennt man aber alle. Sie zerfallen in irreduzible Komponenten, das heißt Zusammenhangskomponenten der zugehörigen Dynkin-Diagramme, und diese korrespondieren zu einfachen direkten Summanden der Lie-Algebra. Die irreduziblen, reduzierten Wurzelsysteme kann man aufzählen. Wie im Artikel über Wurzelsysteme ausgeführt, sind dies

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_n, n\ge 1,\quad B_n, n\ge 2, \quad C_n, n\ge 3,\quad D_n,n \ge 4,\quad E_6, E_7, E_8, \quad F_4, \quad G_2} .

In der nebenstehenden Skizze sind die zugehörigen Dynkin-Diagramme angegeben. Genauer werden durch die Kürzel Isomorphieklassen von Wurzelsystemen definiert; man sagt daher auch, ein Wurzelsystem sei vom angegebenen Typ. Auch eine Lie-Algebra mit entsprechendem Wurzelsystem heißt Lie-Algebra dieses Typs. Damit ist jede endlichdimensionale, halbeinfache Lie-Algebra isomorph zu einer direkten Summe einfacher Ideale, deren Typen in obiger Liste vorkommen.

Der Existenzsatz

Nach dem bisher Gesagten wissen wir, dass die reduzierten Wurzelsysteme endlichdimensionaler, einfacher Lie-Algebren von oben aufgelisteten Typen sein müssen. Umgekehrt stellt sich natürlich die Frage, ob es zu jedem Typ eines reduzierten Wurzelsystems tatsächlich eine passende einfache Lie-Algebra gibt. Diese Frage wird durch den sogenannten Existenzsatz positiv beantwortet.

Nach einem auf Serre zurückgehenden Verfahren kann man mittels freier Lie-Algebren, wobei dann auch unendlichdimensionale Algebren vorkommen, und auf ihnen erklärter Relationen, das sind zwischen den Erzeugern der freien Algebra bestehende Gleichungen, die Existenz der gesuchten Lie-Algebren nachweisen. Die Relationen ergeben sich aus den Wurzelsystemen, sie erzeugen ein Ideal in einer gewissen freien Lie-Algebra und man muss schließlich zeigen, dass die Quotientenalgebra eine endlichdimensionale, halbeinfache Lie-Algebra mit dem vorgegebenen Wurzelsystem ist.

Was nun noch fehlt ist eine konkrete Realisierung dieser einfachen Lie-Algebren, deren vollständige Angabe natürlich ebenfalls den Existenzsatz beweist. Für die vier Reihen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_n, B_n, C_n, D_n} ist das sehr einfach, die exzeptionellen Lie-Algebren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_6, E_7, E_8, F_4, G_2} ergeben sich aus Algebren von Derivationen auf anderen exzeptionellen, nicht-assoziativen Algebren, genauer auf gewissen Jordan-Algebren und auf der Cayley-Algebra. Nach Angabe dieser Liste kann man bis auf Isomorphie alle endlichdimensionalen, halbeinfachen Lie-Algebren hinschreiben.

Die klassischen Algebren

Die einfachen Lie-Algebren zu den Wurzelsystemen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_n, B_n, C_n, D_n} nennt man die klassischen Algebren. Diese können leicht angegeben werden.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{sl}(n+1,K) := \{x\in \mathrm{Mat}(n+1,K)|\, \mathrm{Spur}(x)=0\}}

ist mit der Kommutatorklammer eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n(n+2)} -dimensionale, einfache Lie-Algebra vom Typ Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_n} , das heißt, das zugehörige reduzierte Wurzelsystem ist von diesem Typ. Man nennt sie die spezielle lineare Algebra, da sie die Lie-Algebra zur speziellen linearen Gruppe ist. Der Fall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=1} ist das oben vorgestellte Beispiel.

Es sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_n} die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n\times n} -Einheitsmatrix, 0 bezeichne eine Nullmatrix jeweils passender Größe und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^t} stehe für die Transponierte einer Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} .

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{o}(2n+1,K) := \left\{x\in \mathrm{Mat}(2n+1,K)\Bigg|\, \begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&I_n\\0&I_n&0\end{pmatrix}x = -x^t\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&I_n\\0&I_n&0\end{pmatrix}\right\}}

heißt orthogonale Algebra und ist mit der Kommutatorklammer eine einfache Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n(2n+1)} -dimensionale, einfache Lie-Algebra vom Typ Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B_n} .

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{sp}(2n,K):= \left\{x\in \mathrm{Mat}(2n,K)\Big|\, \begin{pmatrix}0&I_n\\-I_n&0\end{pmatrix}x = -x^t\begin{pmatrix}0&I_n\\-I_n&0\end{pmatrix}\right\}}

heißt symplektische Algebra und ist mit der Kommutatorklammer eine einfache Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n(2n+1)} -dimensionale, einfache Lie-Algebra vom Typ Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C_n} .

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{o}(2n,K) := \left\{x\in \mathrm{Mat}(2n,K)\Big|\, \begin{pmatrix}0&I_n\\I_n&0\end{pmatrix}x = -x^t\begin{pmatrix}0&I_n\\I_n&0\end{pmatrix}\right\}}

heißt orthogonale Algebra und ist mit der Kommutatorklammer eine einfache Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n(2n-1)} -dimensionale, einfache Lie-Algebra vom Typ Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D_n} . Die hier erneut verwendete Bezeichnung als orthogonale Algebra birgt keine Verwechslungsgefahr, da die Größen der auftretenden Matrizen jeweils gerade bzw. ungerade sind.

Die exzeptionellen Algebren

Wir beginnen mit dem einfacheren Fall der Lie-Algebra vom Typ Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G_2} .

• Bezeichnet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak C} die Cayley-Algebra über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} , so ist die Algebra Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{Der}(\mathfrak{C})} der Derivationen auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{C}} eine 14-dimensionale einfache Lie-Algebra vom Typ Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G_2} .

Die Angabe der exzeptionellen Lie-Algebren zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_6, E_7, E_8, F_4 } ist aufwändiger, da hier exzeptionelle Jordan-Algebren ins Spiel kommen. Die Involution auf der Cayley-Algebra Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak C} sei mit einem Querstrich bezeichnet. Dann definiere

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{H}(\mathfrak{C}_3) := \left\{\begin{pmatrix}\xi_1 & c & \overline{b} \\ \overline{c} & \xi_2 & a \\ b & \overline{a} & \xi_3 \end{pmatrix}\Big|\, \xi_1, \xi_2, \xi_3 \in K,\, a,b,c\in \mathfrak{C}\right\}} ,

das ist der 27-dimensionale Raum der „hermiteschen“ 3er-Matrizen über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{C}} . Das Jordan-Produkt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle x\cdot y := \frac{1}{2}(xy+yx),\quad x,y \in \mathfrak{H}(\mathfrak{C}_3) }

macht diesen Raum zu einer mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{J}} bezeichneten Jordan-Algebra. Das ist nicht selbstverständlich, da der Raum der 3er-Matrizen über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak C} nicht assoziativ ist. (Man kann zeigen, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{J}} exzeptionell ist, das heißt, nicht isomorph zu einer Jordan-Algebra ist, die sich von einer assoziativen Algebra herleitet.) Hiermit können wir den nächsten exzeptionellen Lie-Typ realisieren:

• Die Algebra Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{Der}(\mathfrak{J})} der Derivationen auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{J}} ist mit der Kommutatorklammer eine 52-dimensionale, einfache Lie-Algebra vom Typ Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F_4} .

Wir vergrößern nun Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{Der}(\mathfrak{J})} . Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\in \mathfrak{J}} bezeichne Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_x \in \mathrm{End}(\mathfrak{J})} die Rechtsmultiplikation mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} , das heißt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_x(y) := y\cdot x} , wobei hier das Jordan-Produkt verwendet wird. Weiter sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{J}_0} die Menge aller Elemente aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{J}} mit Spur 0, das heißt, für die in oben verwendeter Definition Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \xi_1+ \xi_2+ \xi_3 = 0} gilt.

• Die Summe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{Der}(\mathfrak{J})+\{R_x|x\in \mathfrak{J}_0\}} in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{End}(\mathfrak{J})} ist mit der Kommutatorklammer eine 78-dimensionale, einfache Lie-Algebra vom Typ Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_6} .

Für die 133-dimensionale, einfache Lie-Algebra vom Typ Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_7} und die 248-dimensionale, einfache Lie-Algebra vom Typ Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_8} wird auf das unten angegebene Lehrbuch von Richard D. Schafer bzw. auf die dort angegebene Literatur verwiesen.

Siehe auch

• Cartan-Matrix
• Gruppe vom Lie-Typ
• Halbeinfache Lie-Gruppe
• Kac-Moody-Algebra
• Symmetrischer Raum

Weblinks

Wikibooks: Ausführlicher Beweis der Klassifikation – Lern- und Lehrmaterialien