NTRUSign

NTRUSign ist ein digitales Signaturverfahren, das 2003 entwickelt wurde.^[1] Es basiert auf dem Goldreich-Goldwasser-Halewi-Signaturverfahren und ist der Nachfolger des unsicheren NSS-Verfahrens, wird aber ebenfalls als unsicher betrachtet.

Beschreibung des Verfahrens

Ebenso wie in NTRUEncrypt laufen auch NTRUSign die Berechnungen (mit Ausnahme der Division durch die Resultante) im Ring $R=\mathbb {Z} _{q}[X]/(X^{N}-1)$ ab, wobei die Multiplikation „*“ eine zyklische Faltung modulo $q$ ist: Das Produkt zweier Polynome $f=[f_{0},f_{1},\ldots ,f_{N-1}]$ und $g=[g_{0},g_{1},\ldots ,g_{N-1}]$ ist $f*g=\sum _{i+j\equiv k\mod N}f_{i}\cdot g_{j}\mod q$ .

Es kann bei NTRUSign entweder das Standard- oder das transponierte Gitter zugrunde gelegt werden. Das transponierte Gitter hat den Vorteil, dass das Polynom $f'$ nur Koeffizienten in {-1, 0, 1} enthält und sich dadurch schneller multiplizieren lässt.

Weiterhin kann der Parameter $B$ , die Zahl sogenannter Perturbationen, gewählt werden. Es hat sich allerdings herausgestellt, dass 0 Perturbationen unsicher und mehr als eine nicht notwendig sind, daher ist $B$ in der Praxis immer gleich 1.

Außerdem sind die Größen $N$ (Anzahl Polynomkoeffizienten), $q$ (Modulus), $d$ (Anzahl Koeffizienten = −1), $\beta$ (Normkorrekturfaktor) und ${\mathcal {N}}$ (Normschranke) von Bedeutung.

Schlüsselerzeugung

Es werden $B$ sogenannte Basen erzeugt. Jede davon besteht aus 3 Polynomen, die mit $f,f'$ und $h$ bezeichnet werden. Das Polynom $h$ der ersten Basis bildet den öffentlichen Schlüssel, alle anderen Polynome sämtlicher Basen bilden zusammen den Privatschlüssel.

Basiserzeugung

Es wird hier die Variante nach Hoffstein et al.^[2] beschrieben. Im EESS-Standard^[3] findet die Invertierung der Polynome $f$ und $g$ nicht in $\mathbb {R}$ , sondern in $\mathbb {Z}$ statt. Dadurch kommt man zwar ohne Kommazahlen aus und erhält „bessere“ (normkleinere) Polynome F und G, muss aber zusätzlich eine aufwändige Resultantenberechnung durchführen.

Zur Generierung einer Basis $(f,f',h)$ geht man wie folgt vor:

Wahl eines zufälligen Polynoms $f$ , dessen Koeffizienten in {-1, 0, 1} liegen und das modulo $q$ invertierbar ist.
Wahl eines zufälligen Polynoms $g$ , dessen Koeffizienten in {-1, 0, 1} liegen und das modulo $q$ invertierbar ist.
Resultante $R_{f}$ von $f$ und ein Polynom $\rho _{f}$ berechnen, so dass $\rho _{f}*f+\tau _{f}*(x^{n}-1)=R_{f}$ für ein beliebiges Polynom $\tau _{f}$ gilt. Dieser Schritt ist der rechenintensivste. Mildern kann man dies, indem man für mehrere Primzahlen $p_{i}$ die Resultante modulo $p_{i}$ berechnet und die Gesamtresultante aus den Moduli rekonstruiert. Zu Einzelheiten der Resultantenberechnung siehe Abschnitte 2.2.7.1 und 2.2.7.2 des EESS-Standards^[3].
Resultante $R_{g}$ von $g$ und ein Polynom $\rho _{g}$ berechnen, so dass $\rho _{g}*g+\tau _{g}*(x^{n}-1)=R_{g}$ für ein beliebiges Polynom $\tau _{g}$ gilt.
Wenn $GGT(R_{f},R_{g})$ ≠1 ist, wieder bei Schritt 1 anfangen.
Mittels des erweiterten euklidischen Algorithmus zwei Zahlen $S_{f}$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_g} ermitteln, so dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_f R_f+S_g R_g=1} gilt.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A(x)=qS_f\rho_f(x)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B(x)=-qS_g\rho_g(x)} setzen.
Inverse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f^{-1}(x)=\rho_f(x)/R_f} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g^{-1}(x)=\rho_g(x)/R_g} in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R[x]/(x^N-1)} auf genügend viele Dezimalstellen berechnen.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C(x)=\lfloor 1/2(B(x)*f^-1(x)+A(x)*g^-1(x)) \rceil} . Anmerkung: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lfloor} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rceil} sind Gaußklammern.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(x)=B(x)-C(x)*f(x)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(x)=A(x)-C(x)*g(x)} .
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_q} = die Inverse von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} modulo Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q} .
Im Standardfall: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'=F} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h=g*f_q \mod q}
Im transponierten Fall: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'=g} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h=F*f_q \mod q}

Signierung

Sei m die zu signierende Nachricht.

Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i=B} bis 0 werden folgende Schritte ausgeführt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (f, f', h)} = Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} -te Basis
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = \lfloor -\frac{1}{q}m_i*f'_i \rceil}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = \lfloor \frac{1}{q}m_i*f_i \rceil}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s_i = x*f + y*f'}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m_i = si*(h_i-h_{i-1}) \mod q}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s = s + s_i}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} ist die Signatur.

Beachte: Unter bestimmten Umständen kann es vorkommen, dass die Signatur trotz gültigen Schlüssels ungültig ist. Es empfiehlt sich daher, die Signatur nach der Erzeugung zu überprüfen und ggf. nochmals zu signieren.

Signaturprüfung

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} die Nachricht, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} der öffentliche Schlüssel und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} die Signatur. Die Norm Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ||t||} eines Polynoms Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} sei durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \inf_{0 \leq k<q} ||t+kq||_z} gegeben, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ||r||_z = \sum_{i=0}^{N-1}r_i^2 - \frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N}r_i} ist (letztere wird als zentrierte Euklidische Norm bezeichnet).

Die Signatur wird dann wie folgt überprüft:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b = \sqrt{||s||^2 + \beta^2||s*h-m||^2}}
Die Signatur ist gültig, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b<\mathcal{N}} ist.

Bemerkung: Die Berechnung der Norm über die Definition ist ineffizient. Eine bessere Methode ist es, auf alle Polynomkoeffizienten eine Konstante zu addieren, so dass die zwei Koeffizienten mit dem größten Abstand gleich weit von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{q}{2}} entfernt sind (jeweils modulo Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q} ). Die Norm ergibt sich dann durch die zentrierte Euklidnorm (s. o.) des so entstandenen Polynoms.

Effizienz

Um die Multiplikation zu beschleunigen, können die Parameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} so gewählt werden, dass viele Koeffizienten Null sind. Dazu wird ein Parameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} gewählt und bei der Wahl von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} werden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} Koeffizienten gleich 1, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d-1} Koeffizienten gleich −1 und der Rest gleich 0 gesetzt.

Die Prüfung mehrerer Signaturen lässt sich beschleunigen, indem man statt der einzelnen Normen die Norm der Summe der Signaturen überprüft. Die Parameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{N}} müssen dazu erhöht werden.

Sicherheit

Die mit dem Verfahren erstellten Signaturen verraten Informationen über den geheimen Schlüssel. Diese Tatsache wurde 2006 ausgenutzt um das Verfahren anzugreifen: Ungefähr 400 Signaturen reichten aus, um den geheimen Schlüssel zu berechnen.^[4] Das Verfahren wurde nach diesem Angriff angepasst, Perturbationen sollten das Berechnen des geheimen Schlüssels erheblich erschweren. Das verbesserte Verfahren wurde 2012 angegriffen, der geheime Schlüssel konnte aus mehreren Tausend Signaturen berechnet werden.^[5]

Einzelnachweise

↑ Jeffrey Hoffstein, Nick Howgrave-Graham, Jill Pipher, Joseph H. Silverman, William Whyte: NTRUSign: Digital Signatures Using the NTRU Lattice. (securityinnovation.com [PDF]). NTRUSign: Digital Signatures Using the NTRU Lattice (Memento des Originals vom 30. Januar 2013 im Internet Archive) Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2
↑ Hoffstein, Pipher, Silverman: An Introduction to mathematical Cryptography, Springer 2008, ISBN 978-0-387-77993-5
↑ ^a ^b Archivierte Kopie (Memento des Originals vom 16. März 2012 im Internet Archive) Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/grouper.ieee.org Efficient Embedded Security Standard
↑ Phong Q. Nguyen und Oded Regev: Learning a Parallelepiped: Cryptanalysis of GGH and NTRU Signatures. In: EUROCRYPT 2006 (= LNCS). Band 4004. Springer, 2006, S. 271–288 (ens.fr [PDF]).
↑ Léo Ducas und Phong Q. Nguyen: Learning a Zonotope and More: Cryptanalysis of NTRUSign Countermeasures. In: ASIACRYPT 2012 (= LNCS). Band 7658. Springer, 2012, S. 433–450 (ens.fr [PDF]). Learning a Zonotope and More: Cryptanalysis of NTRUSign Countermeasures (Memento des Originals vom 3. September 2014 im Internet Archive) Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/www.di.ens.fr

Weblinks

http://grouper.ieee.org/groups/1363/lattPK/submissions/EESS1v2.pdf Beschreibung des Algorithmus
http://grouper.ieee.org/groups/1363/WorkingGroup/presentations/NTRUSignParams-2005-08.pdf Ergänzungen, Optimierungen und Herleitung von Parametern
Patent US7308097B2: Digital signature and authentication method and apparatus. Angemeldet am 6. Dezember 2002, veröffentlicht am 11. Dezember 2007, Anmelder: NTRU Cryptosystems Inc, Erfinder: Jeffrey Hoffstein et Al (läuft nach der 20-jährigen Spanne am 6. Dezember 2022 ab).‌
http://sourceforge.net/projects/ntru/ NTRUSign als Java-Quelltext

[1] Jeffrey Hoffstein, Nick Howgrave-Graham, Jill Pipher, Joseph H. Silverman, William Whyte: NTRUSign: Digital Signatures Using the NTRU Lattice. (securityinnovation.com [PDF]). NTRUSign: Digital Signatures Using the NTRU Lattice (Memento des Originals vom 30. Januar 2013 im Internet Archive) Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2

[2] Hoffstein, Pipher, Silverman: An Introduction to mathematical Cryptography, Springer 2008, ISBN 978-0-387-77993-5

[EESS-3] Archivierte Kopie (Memento des Originals vom 16. März 2012 im Internet Archive) Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/grouper.ieee.org Efficient Embedded Security Standard

[4] Phong Q. Nguyen und Oded Regev: Learning a Parallelepiped: Cryptanalysis of GGH and NTRU Signatures. In: EUROCRYPT 2006 (= LNCS). Band 4004. Springer, 2006, S. 271–288 (ens.fr [PDF]).

[5] Léo Ducas und Phong Q. Nguyen: Learning a Zonotope and More: Cryptanalysis of NTRUSign Countermeasures. In: ASIACRYPT 2012 (= LNCS). Band 7658. Springer, 2012, S. 433–450 (ens.fr [PDF]). Learning a Zonotope and More: Cryptanalysis of NTRUSign Countermeasures (Memento des Originals vom 3. September 2014 im Internet Archive) Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/www.di.ens.fr

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