Diskussion:Hyper-Operator

Erweitert die Umkehrfunktion von Hyper4 den Zahlenraum?

Hallo! Ich bin ein ziemlicher Mathe-Anfänger, aber vielleicht kann mir jemand hier helfen: Es gibt ja die Reihe Addition - Multiplikation - Potenzierung - Hyper4. In der Geschichte der Mathematik hat jeweils die Umkehrfunktion jedes dieser Operatoren den Zahlenraum erweitert:

• Addition: Mit der Subtraktion die negativen Zahlen
• Multiplikation: Mit der Division Bruchzahlen
• Potenzierung: Mit dem Wurzelziehen die Imaginären Zahlen.

Wenn man jetzt mit der Umkehrfunktion von Hyper4 ein wenig rumspielt (zum Beispiel "was ist x bei hyper4(-3i,x) = 5 ?"), erhält man dann wieder einen neuen Zahlenraum? Sicher hat sich das schon mal jemand überlegt. Macht dieser Zahlenraum einfach aus der Gaussebene eine dreidimensionale Gaussebene oder was anderes? Fügen Hyper5, Hyper6 etc einfach weitere Dimensionen zur Gaussebene dazu oder kommt das dann wieder ganz anders? Ich hab mal meinen Mathelehrer vor 15 Jahren diese Frage gestellt aber der konnte das nicht beantworten... :-( Danke für Antworten, aber bitte gut verständlich schreiben :-) Fred K 00:07, 21. Mai 2005 (CEST)

Oh ja, das würde ich auch gern wissen! :-) Bedeckt 01:29, 22. Mai 2005 (CEST)

Hat niemand die Antwort? Wäre sonst echt interesant! :-) Peter S. 21:18, 18. Jan 2006 (CET)

Man müsste dazu erst einmal die Umkehrfunktion finden. Ich halte nicht jede beliebige Erweiterung der Zahlen sinnvoll. Schon bei komplexen Zahlen gelten die Wurzelgesetze nicht mehr. Wie wäre dass dann erst bei der "hyper4"-Zahlen? Um eine Umkehrfunktion zu finden, müsste man erst einmal Gesetzmäßigkeiten, Rechenregeln, etc. finden. Dennoch wäre ich interressiert, eine Lösung zu erfahren. --ttbya 16:26, 29. Mär. 2007 (CEST)

Ich nehme alles zurück. Es findet keine Erweiterung des Zahlenraumes statt. Hier der Beweis: x,a und b sind komplexe Zahlen; $x=hyp4(a,b)=a^{a^{...}}=a^{a^{b-1}}=a^{\frac {a^{b}}{a}}={\sqrt[{a}]{a^{a^{b}}}}$

$x^{a}=a^{a^{b}}$

$b=\log _{a}\log _{a}x^{a}$

$b={\frac {\ln {\frac {\ln x^{a}}{\ln a}}}{\ln a}}$

Da sowohl das Potenzieren als auch der natürliche Logarithmus in den komplexen Zahlen definiert ist (siehe in den jeweiligen Artikeln), ist auch b komplex. Damit ist auch die Umkehrfunktion von hyper4 in den komplexen Zahlen definiert und es findet keine Erweiterung des Zahlenraumes statt. Schade eigentlich ;-) Gruß, --ttbya 17:46, 30. Mär. 2007 (CEST)

Sorry ttbya, aber deine Argumentation stimmt nicht, denn Hyper4 ist so definiert, dass Potenztürme nicht kollabieren: Soweit stimmt es noch: $hyp4(a,b)=a^{a^{...}}=a^{\wedge }(a^{\wedge }(...))$

Im nächsten Schritt willst du nun den Turm verkürzen zu $a^{a^{b-1}}$. Das wäre aber nur für den Ausdruck $((a^{\wedge }a)^{\wedge }...)$ möglich, denn nur wenn man die den Potenzturm "von unten nach oben" auswertet kann man die entsprechende Potenzregel ${(a^{b})}^{c}=a^{bc}$ anwenden. Eine Abgrenzung zwischen diesen beiden möglichen Definitionen für Potenztürme ist im Abschnitt "Eine weitere Erweiterung" des Artikels gegeben. Die (sehr gute) Frage nach dem Zahlenraum bleibt also noch offen. Eine Umkehrfunktion ist schon für ${x}^{x}$, also $hyper4(x,2)$ nicht (bzw. nicht ohne weiteres) anzugeben, denn schon in den positiven reellen Zahlen werden Werte im Intervall $e^{-{\frac {1}{e}}}<x<1$ 2 mal angenommen.---lx- 21:47, 4. Apr. 2007 (CEST)

Ob die Umkehrfunktion elementar angegeben werden kann, hat allerdings nichts mit der Existenz einer Umkehrung bzw. einer Erweiterung des Zahlenraums zu tun. Nun ist (der Einfachheit halber für positive reelle $x$) $x^{x}$ gewiss stetig und nimmt alle Werte $\geq e^{-{\tfrac {1}{e}}}=0{,}6922\ldots$ an. Folglich lässt sich $x^{x}=42$ lösen. Aber ebenso könnte man die Nicht-Lösbarkeit von z.B. $x^{x}=-1$ zu einer Zahlenbereichserweiterung nutzen - nur stellt sich die Frage nach dem Nutzen hiervon: Sei $h$ ("Hypereinheit") eine gedachte Lösung von $x^{x}=-1$ (so wie $i$ Lösung von $x^{2}=-1$ und zuvor $-1$ Lösung von $x+1=0$ ist). Ergibt sich eine sinnvolle Struktur? Kann man irgendetwas Sinnvolles über $h+1$, $7h$, $h^{2}$ aussagen? Läßt sich eine Lösung von $x^{x}=-2$ durch $h$ ausdrücken? So sinnvoll in der Tat die Fragestellung ist, so nutzlos wäre IMHO eine solche Erweiterung.--Hagman 18:15, 22. Sep. 2007 (CEST)

Die Erweiterung müsste anders konstruiert werden, die Lösung von $x^{x}=-1$ ist nämlich einfach $x=-1$.--PPaul 17:31, 18. Nov. 2007 (CET)

Zumindes lässt sich für $x>{\frac {1}{2}}$ das Newton-Verfahren anwenden. Das ist zwar nur eine annähernde Lösung, aber es ist eine. Ich weiß nicht, ob das auch für $x<{\frac {1}{2}}$ gilt, allerdings werden dann die Werte komplex.--ttbya 11:30, 16. Mai 2007 (CEST)

Anmerkung zur rekursiven Definition

Hallo! Die im Artikel angegebene rekursive Definition ist nicht ganz vollständig. Sie liefert zwar zum einen den Abstieg von (n+1) auf n, allerdings verbleibt auch immer ein Term des Hyperoperators für (n+1) im Ausdruck, bei dem nur der zweite Operand sich verringert. Wenn man allerdings keine Definition für zweiter Operand (b) = 0 hat, dann kann man mit der rekursiven Definition eigentlich nix ausrechnen...

Hab die rekursive Definition erwertert um die Randfälle. --Xenoborg 18:37, 17. Okt 2005 (CEST)

Fragen

Wer hat die Schreibweise wann entwickelt? Wer braucht sie, und wofür?--Gunther 01:26, 17. Okt 2005 (CEST)

Anwendung: v.a. in der Informatik; der Hyper n Operator bildet die Grundlage der Ackermannfunktion. Diese wiederum ist bedeutend hinsichtlich der Berechenbarkeit von Funktionen und in der theoretischen Informatik. Meiner Meinung nach sollte man erwägen, diese beiden Artikel zu vereinen oder ihnen zumindest mehr Bezug aufeinander zu geben.

Erfinder und Erfindungszeitpunkt: Meiner Meinung nach unwichtig, da es sich nur um eine Notation handelt. --Xenoborg 18:24, 17. Okt 2005 (CEST)

Wenn das nur Notation für die Ackermannfunktion ist (das steht übrigens nirgendwo), braucht sie keinen eigenen Artikel. Wir haben ja auch keinen Artikel Hochstellung, sondern einen Artikel Potenz (Mathematik). Übrigens fehlt der Induktionsanfang (der in Ackermannfunktion ja auch nicht festgelegt wird): Was ist $a^{(n)}0$ oder $a^{(n)}1$?--Gunther 18:42, 17. Okt 2005 (CEST)

Abbruchsbedingung fehlt

$a^{(n+1)}b:=a^{(n)}(a^{(n+1)}(b-1))$ ist unvollständig. Eine Abbruchsbedingung fehlt.

Beispiel: $3^{(4)}2=3^{(3)}(3^{(4)}1)=3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(4)}0))=3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(4)}-1)))=\ldots$

Das kann ja nicht unendlich so weitergehen...

--DFG 22:07, 12. Nov 2005 (CET)

Abschnitt "Eine andere Erweiterung" ist falsch

1. Für den Fall n=0 muss die Funktion b+1 liefern - sonst bekommt man nicht mal eine allgemeine Addition hin.

2. Wenn man das gefixt hat, dann klappt's auch mit dem Potenz-Turm.

--DFG 22:22, 12 November 2005 (CET)

Ich würde bei der Definition des Hyper-Operators grundsätzlich erst mit eins also dem Additions Operator anfangen, da

  hyper(a,1,a) = a+a = a*2 = hyper(a,2,2)
  hyper(a,2,a) = a*a = a^2 = hyper(a,3,2)
  hyper(a,3,a) = a^a = hyper(a,4,2)

und laut der Definition

  hyper(a,0,b) = b+1 

des Hyper-Operators aber

  hyper(a,0,a) = a+1 != a+2 = hyper(a,1,2)

ist.

-- HoelzlS

Fehlende Bezeichnugen

Ich habe mir die Seite angeschaut ohne eine Ahnung über dieses Stoff zu haben!
Verständlich war was die Funktion sein soll, allerdings sobald es an das Mathematische ging, fehlten die Definitionen:
So habe nicht herausfinden können für was bei z.B.: $3^{(4)}2$Die 2 die 3 oder die 4 steht.
Außerdem verstand ich das Beispiel nicht und kam bei $3^{(4)}3$ auf ein Ergebniss von $(3^{3})hoch19683!$
Dies entspricht 3hoch3hoch3hoch3hoch3. So hab ich mich dies auch vorgestellt.
Fände es net, wenn sich das jemand mal anschauen würde und den Artikel so umschreiben kann dass auch ich es verstehe^^
Thx

Erwähnenswert

Vielleicht sollte man im Artikel erwähnen, dass $hyp4({\sqrt {2}},\infty )=2$.--ttbya 11:19, 26. Mai 2007 (CEST)

Fehler bei Knuths Pfeiloperator

Im "sonst"-Teil der Fallunterscheidung kommt das b gar nicht mehr vor, ich kann mir nicht vorstellen, daß das so richtig ist. --81.173.159.2 19:58, 19. Sep. 2007 (CEST)

Ist korrigiert. --PPaul 20:40, 1. Nov. 2007 (CET)

Wachstumsgeschwindigkeit

Jemand hatte die Scherzfrage gestellt was wohl die größte Zahl ist, die man mit höchstens 4 4-ren und 4 Operatoren darstellen kann.
Er war recht überrascht als ich hyper4(4,44) gemeint habe. Seine Antwort war (((4444!)!)!)!
Um die Frage zu klären was wohl größer sei habe ich angefangen die verschiedenen Operationen zu studieren und kam auf die Gleichung als Größenvergleich

hyper4(3,x) = 3!!!!

und versuchte nach x aufzulösen. Da aber schon 3!!! ~~ 10^1746 ist 3!!!! nicht mehr numerisch auszurechnen auf meinem Laptop. Es wäre schon interessant zu wissen was x ist für 3!!! - kann mir aber nur vorstellen durch rekursives Aufpotentieren auszuprobieren wann der Wert über dem für 3!!! liegt. Wollte man x annähern müsste man bei dieser Methode die komplette Berechnung mit der y-ten Wurzel von 3 wieder und wieder durchmachen. Dann wäre das angenährte x ein Bruch mit y im Nenner. Ich bin mir ziemlich sicher dass hyper4(a,a) (also a=b) schneller wächst als a!!!! aber wie beweist man das? Und noch interessanter wäre die Lösung für die genannte Gleichung mit gesuchtem b. --Amogorkon 05:12, 15. Apr. 2008 (CEST)

"Eine andere Erweiterung": Rekursive Definition funktioniert nicht

Wenn ich diese Definition in meinen TI-nspire CX II-T CAS benutze, bekomme ich für n >= 4 immer 1 als Ergebnis ausgegeben. Da kann also was nicht stimmen.
--2003:E2:6721:91D0:1009:82F3:2A7D:71B5 04:52, 15. Mär. 2020 (CET)

Wenn man die allgemeinere Definition der Verknüpfung „anders rum“ schreibt, z.B. so:

• $\,a+b=1+(a+(b-1))$
• $a\cdot b=a+(a\cdot (b-1))$
• $a^{b}=a\cdot \left(a^{(b-1)}\right)$
• $a^{(4)}{b}=a^{\left(a^{(4)}{(b-1)}\right)}$,

„verschwindet“ das „Kollabieren“.
Allegra Pstrocski (Diskussion) 09:13, 14. Okt. 2020 (CEST)

2,5^2,5^2,5^2,5 …

… ist wohl weder ganz- noch halbzahlig, doch wurde diese Zahl dafür genau genug berechnet? --2003:D2:4F3D:19B6:DCB:EB75:A5E3:3FB5 06:40, 8. Dez. 2021 (CET)

Ebenso stellt sich die Frage, ob wir jemals 1,5^^14 genau genug berechnen können, um festzustellen, dass sie weder ganz- noch halbzahlig ist. --2003:D2:4F3D:19B6:DCB:EB75:A5E3:3FB5 07:18, 8. Dez. 2021 (CET)