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Beweis nach Euklid (Buch I, Poroposition 47)

Beweis nach Euklid: schraffierte Dreiecke sind kongruent, gleich farbene Vierecke flächengleich

Euklid beschreibt den Satz des Pythagoras mit dem folgenden Beweis im ersten Buch seiner Elemente in der Proposition 47.^[1] Dort beweist er zunächst den Kathetensatz mit Hilfe kongruenter Dreiecke, aus welchem dann unmittelbar der Satz des Pythagoras folgt. Der Beweis benutzt dabei nicht die Theorie der Proportionen, die erst im Buch 5 der Elemente entwickelt wird, sondern kommt allein mit den Sätzen des ersten Buches der Elemente aus und ist von konstruktiver Natur.

Für ein Dreieck $ABC$ mit rechtem Winkel in $C$ sind $CBLF$ und $ACKD$ die Quadrate über den Katheten und $J$ der Fußpunkt der Höhe von $C$ auf $AB$ . Des Weiteren sind $MNJA$ und $NHBJ$ Rechtecke über der Hypotenuse $AB$ deren längere Seite $JN$ die Länge der Seite $AB$ besitzt. Nun sind die Dreiecke $AMC$ und $ABD$ nach dem zweiten Kongruenzsatz (SWS) kongruent, da $\angle MAC=\angle BAC+90^{\circ }=\angle BAD$ , $|AD|=|AC|$ und $|AB|=|AM|$ gilt. Zudem gilt, dass die Fläche des Dreiecks $AMC$ die Hälfte der Fläche des Rechtecks $MNJA$ beträgt, da dessen Grundseite $AB$ und die Rechteckseite $AM$ gleich lang sind und die Länge seiner Hohe von $C$ der Länge der anderen Rechteckseite entspricht. Aufgrund eines entsprechenden Arguments folgt, dass die Fläche des Dreiecks $ABD$ der Hälfte der Fläche des Kathetenquadrates $ACKD$ entspricht. Wegen der Kongruenz der Dreiecke $AMC$ und $ABD$ bedeutet dies aber, dass dann auch das Kathetenquadrat $ACKD$ flächengleich mit dem Rechteck $MNJA$ ist. Analog lässt sich mit Hilfe der kongruenten Dreiecke $CHB$ und $ABL$ zeigen, dass das zweite Kathetenquadrat $CBLF$ flächengleich mit dem Rechteck $NHBJ$ ist. Damit hat man den Kathetensatz bewiesen. Der Satz des Pythagoras folgt dann sofort, da das Hypotenusenquadrat sich aus den Rechtecken $MNJA$ und $NHBJ$ zusammensetzt.

^[2]

^[3] (stuhl ragen)

Der erste Beweis (I, 47) wird wegen der Form der Hilfslinien in der zugehörigen Figur im englischen Sprachraum gelegentlich auch windmill (Windmühle) genannt,^[4]^[5] Arthur Schopenhauer nahm den ersten Beweis von Euklid als Beispiel für dessen in seiner Sicht willkürliche und wenig anschauliche Vorgehensweise („Oft werden, wie im Pythagoreischen Lehrsatze, Linien gezogen, ohne dass man weiss warum: hinterher zeigt sich,dass es Schlingen waren, die sich unerwartet zuziehen“, und so die Zustimmung Lernenden erzwingen, „der nun verwundert zugeben muß , was ihm seinem inneren Zusammenhang nach völlig unbegreiflich bleibt“)^[6] Felix Klein verteidigte den Beweis dagegen in einer Erwiderung auf Schopenhauers Kritik als besonders anschaulich und demonstrierte dies in seiner Elementarmathematik vom höheren Standpunkt.^[7]

Es gibt noch einen weiteren Beweis des Satzes von Pythagoras in den Elementen in Buch 6, Proposition 31.^[8] Er benutzt statt Quadraten zueinander ähnliche Rechtecke auf den drei Seiten, ist formal einfacher als der Beweis im ersten Buch durch Verwendung der Theorie der Proportionen, die erst von Eudoxos von Knidos streng begründet wurde (siehe Abschnitt Beweis_mit_Ähnlichkeiten.) Pythagoras kann beide Beweise aller Wahrscheinlichkeit nach nicht gekannt haben, da sie einem fortgeschritteneren Verständnis der Geometrie entsprechen^[9] Proklos schrieb die Beweise in seinem Kommentar zu den Elementen explizit Euklid zu und drückte seine Bewunderung für beide Beweise aus.

Euklid gibt in der letzten Proposition 48 von Buch 1 zusätzlich eine Umkehrung des Satzes von Pythagoras, indem er zeigt, dass aus der Gleichheit der Fläche des Hypothenusenquadrats mit der der Summe der Kathentenquadrate folgt, dass einer der Winkel des Dreiecks ein rechter Winkel ist (siehe Abschnitt Beweis der Umkehrung).^[10]

Zerlegungsbeweise

Zerlegungsbeweis von Perigal

Der folgende Zerlegungsbeweis wird in der neueren deutschsprachigen Literatur oft als "Stuhl der Braut" bezeichnet^[11]^[12], was eventuell darauf zurückzuführen ist, dass er dem weiter dem zweiten weiter unten dargestellten indischen Zerlegungsbeweis ähnelt, der in der Sanskrit-Literatur als "Stuhl der Braut" oder "Figur der Braut" bezeichnet wird.^[13] Der Beweis wurde 1873 von dem englischen Amateur-Mathematiker Henry Perigal veröffentlicht.^[14]

Man platziert die Quadrate $ACIE$ und $CBGH$ mit Seitenlängen $a$ und $b$ (( $a\leq b$ ) so nebeneinander, dass ihre Unterseiten $AC$ und $CB$ die gemeinsame Strecke $AB$ bilden. Dann trägt man von der äußerenen unteren Ecke des größeren Quadrats $CBGH$ die Seitenlänge $a$ des kleineren Quadrates ab, um den Punkt $J$ zu erhalten. Nun zerschneidet man die von den beiden Quadraten geformte Figur $ABGHIE$ entlang der Strecken $EJ$ und $GJ$ und erhalt so die kongruenten rechtwinkligen Dreiecke $AJE$ , $JBG$ mit Kathetenlöngen $a$ , $b$ und Hypotenusenlänge $c$ und das Fünfeck $EJHGI$ . Nun platziert man die Dreiecke auf der anderen Seite des Fünfecks, z. B. durch eine Drehung von $90^{\circ }$ um ihre Ecktpunkte $E$ und $G$ , und erhält so ein Quadrat der Seitenlänge $c$ .^[11]

Zerlegungsbeweis von Bhaskara

Der zweite sehr ähnliche Zerlegungsbeweis findet sich in dem Buch Bijaganita des indischen Mathematikers Bhaskara II. (1114-1185). Er beginnt mit derselben Ausgangsfigur der aneinander liegenden Quadrate, führt dann jedoch eine leicht abgewandelte Zerlegung durch.^[14]^[13] Die beiden Quadrate mit Seitenlängen $a$ und $b$ werden nenbeneinander platziert, dann zerteilt man die so entstandene Figur in vier kongruente rechtwinklige Dreiecke mit Katheten der länge $a$ und $b$ und einer Hypotenuse der Länge $c$ , sowie ein Quadrat der Seitenlänge $a-b$ . Diese setzt man dann zur einem Qudrat der Seitenlänge $c$ zusammen (siehe Zeichnung).^[14]

^[15]

^[16] (stuhl ragen)

pythagoras

parabolic constant

Mittenpunkt und Fergonne-Punkt/Dreieck

Euler-Dreieck

Louise Pond

↑ Euclids Elements, Book 1, Proposition 47, David Joyce
↑ Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik. Springer, 2015, S. 1-11
↑ J. M. Aarts: Plane and Solid Geometry. Springer, 2009, ISBN 9780387782416, S. 4
↑ John C. Sparks: The Pythagorean Theorem. Crown Jewel of Mathematics, AuthorHouse, Bloomington, Indiana 2008, S. 36
↑ Maor, The Pythagorean Theorem, Princeton UP, 2007, S. 45
↑ Schopenhauer, Die Welt als Wille und Vorstellung, Band 1, in Julius Frauenstädt (Hrsg.), Schopenhauers Sämtliche Werke, Band 2, Brockhaus, 2. Auflage 1877, S. 84
↑ Felix Klein, Elementarmathematik vom höheren Standpunkt, Band 2, Springer 1925, S. 258
↑ Euclids Elements, Book 6, Proposition 31, David Joyce
↑ Eli Maor: The Pythagorean Theorem. Princeton University Press 2007, S. 42
↑ Elemente, Buch 1, Proposition 48, David Joyce
↑ ^a ^b Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie. Springer, 2018,ISBN 978-3-658-22832-3, S. 25
↑ Su8sanne Müller-Phillip, Hans-Joachim Gorski: Leitfaden Geometrie. Vieweg+Teubner Verlag, 5-te Auflage, 2011, S. 294-295
↑ ^a ^b Ivan Smadja: On two conjectures that shaped the historiography of indeterminate analysis: Strachey and Chasles on Sanskrit sources. In: Historia Mathematica, Volume 43, Issue 3, August 2016, Pages 241-287
↑ ^a ^b ^c Howard Eves: Great moments in mathematics (before 1650). MAA, 1983, ISBN 9780883853108, S.29-32
↑ Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik. Springer, 2015, S. 1-11
↑ J. M. Aarts: Plane and Solid Geometry. Springer, 2009, ISBN 9780387782416, S. 4

[1] Euclids Elements, Book 1, Proposition 47, David Joyce

[Alsina/Nelsen-2] Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik. Springer, 2015, S. 1-11

[3] J. M. Aarts: Plane and Solid Geometry. Springer, 2009, ISBN 9780387782416, S. 4

[4] John C. Sparks: The Pythagorean Theorem. Crown Jewel of Mathematics, AuthorHouse, Bloomington, Indiana 2008, S. 36

[5] Maor, The Pythagorean Theorem, Princeton UP, 2007, S. 45

[6] Schopenhauer, Die Welt als Wille und Vorstellung, Band 1, in Julius Frauenstädt (Hrsg.), Schopenhauers Sämtliche Werke, Band 2, Brockhaus, 2. Auflage 1877, S. 84

[7] Felix Klein, Elementarmathematik vom höheren Standpunkt, Band 2, Springer 1925, S. 258

[8] Euclids Elements, Book 6, Proposition 31, David Joyce

[9] Eli Maor: The Pythagorean Theorem. Princeton University Press 2007, S. 42

[10] Elemente, Buch 1, Proposition 48, David Joyce

[Zeuge-11] Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie. Springer, 2018,ISBN 978-3-658-22832-3, S. 25

[12] Su8sanne Müller-Phillip, Hans-Joachim Gorski: Leitfaden Geometrie. Vieweg+Teubner Verlag, 5-te Auflage, 2011, S. 294-295

[Smadja-13] Ivan Smadja: On two conjectures that shaped the historiography of indeterminate analysis: Strachey and Chasles on Sanskrit sources. In: Historia Mathematica, Volume 43, Issue 3, August 2016, Pages 241-287

[Eves-14] Howard Eves: Great moments in mathematics (before 1650). MAA, 1983, ISBN 9780883853108, S.29-32

[15] Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik. Springer, 2015, S. 1-11

[16] J. M. Aarts: Plane and Solid Geometry. Springer, 2009, ISBN 9780387782416, S. 4

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