Grothendiecks Spursatz

Der Spursatz von Grothendieck ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis über die Spur und die Determinante einer bestimmten Klasse nuklearer Operatoren auf Banach-Räumen, der ${\tfrac {2}{3}}$-nuklearen-Operatoren. Der Satz wurde von Alexander Grothendieck bewiesen.

Grothendiecks Spursatz

Vorbereitung

Approximationseigenschaft

Ein Banach-Raum $B$ hat die Approximationseigenschaft, falls für jedes kompakte $K\subset B$ und jedes $\varepsilon >0$ ein Operator $T$ endlichen Ranges existiert, sodass für alle $x\in K$

$\|x-Tx\|<\varepsilon .$

⅔-nuklearer-Operator

Sei $A$ ein nuklearer Operator auf einem Banach-Raum $B$ mit Approximationseigenschaft, dann ist $A$ ein ${\tfrac {2}{3}}$-nuklearer Operator, falls er eine Zerlegung der Form

$A=\sum \limits _{k=1}^{\infty }\varphi _{k}\otimes f_{k}$

besitzt, wobei $\varphi _{k}\in B$ und $f_{k}\in B'$ und

$\sum \limits _{k=1}^{\infty }\|\varphi _{k}\|^{2/3}\|f_{k}\|^{2/3}<\infty .$

Grothendiecks Spursatz

Seien $\lambda _{j}(A)$ die Eigenwerte von $A$ mit ihren Vielfachheiten gezählt. Dann ist

$\sum \limits _{j}|\lambda _{j}(A)|<\infty$

und es gilt

$\operatorname {tr} A=\sum \limits _{j}|\lambda _{j}(A)|$

$\operatorname {det} (I+A)=\prod \limits _{j}(1+\lambda _{j}(A)),$

wobei wir die Spur und die Fredholm-Determinante als Grenzwert definieren:

$\operatorname {tr} A:=\lim \limits _{n\to \infty }\operatorname {tr} (K_{n})$

$\operatorname {det} (I+A):=\lim \limits _{n\to \infty }\det(I+K_{n})$

mit $\|K_{n}-A\|\to 0.$