Falksches Schema

Das Falksche Schema (benannt nach dem deutschen Ingenieur Sigurd Falk) ist eine Tabelle, die eine optische Hilfe bei der Matrizenmultiplikation von Hand bietet. Der linke Faktor, die $(m\times r)$-Matrix, wird links von der $(m\times n)$-Ergebnismatrix und der rechte Faktor, die $(r\times n)$-Matrix, wird oberhalb der Ergebnismatrix platziert. Wo sich die $i$-te Zeile des linken Multiplikanden und die $j$-te Spalte des rechten Multiplikanden kreuzen, wird das entsprechende Skalarprodukt eingetragen.

Beispiel

Gegeben sind die Matrizen

$A_{3\times 2}={\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&-6\end{pmatrix}}$ und $B_{2\times 2}={\begin{pmatrix}-1&1\\1&-2\\\end{pmatrix}}$ .

Es soll das Produkt $C=A\cdot B$ ermittelt werden. $C$ ist eine $(3\times 2)$-Matrix.

Zunächst wird das falksche Schema aufgestellt, indem die Matrizen höhenversetzt nebeneinander geschrieben werden (in der ursprünglichen Ausrichtung, also ohne Kippen oder Drehen).

			Spalte j
			1	2
			−1	1
Zeile i			1	−2
1	1	4
2	2	5
3	3	−6

Die erste Zeile von $A$ wird elementweise mit der ersten Spalte von $B$ multipliziert: 1 · (−1) + 4 · 1 = 3 und ergibt das Element $c_{11}=3$.

			Spalte j
			1	2
			−1	1
Zeile i			1	−2
1	1	4	3
2	2	5
3	3	−6

Die erste Zeile von $A$ wird elementweise mit der zweiten Spalte von $B$ multipliziert: 1 · 1 + 4 ·(−2) = −7 und ergibt das Element $c_{12}=-7$.

			Spalte j
			1	2
			−1	1
Zeile i			1	−2
1	1	4	3	−7
2	2	5
3	3	−6

Analog wird mit den weiteren Zeilen verfahren. Zum Schluss wird die dritte Zeile von $A$ elementweise mit der zweiten Spalte von $B$ multipliziert: 3 · 1 + (−6) · (−2) = 15 und ergibt das Element $c_{32}=15$.

			Spalte j
			1	2
			−1	1
Zeile i			1	−2
1	1	4	3	−7
2	2	5	3	−8
3	3	−6	−9	15

Literatur

• Rudolf Zurmühl, Falk: Matrizen und ihre Anwendung. Band 1. 7. Auflage. Springer, 1997, S. 17
• Karl-Eugen Kurrer: The History of the Theory of Structures. Searching for Equilibrium. Ernst & Sohn, Berlin 2018, ISBN 978-3-433-03229-9, S. 842 f.

Weblinks

• Wikibooks: Analytische Geometrie – Matrizen – Rechnen mit Matrizen – Matrizenmultiplikation
• Dankert: Verschiedene Beispiele und deren Erweiterung. HAW Hamburg, Archivlink abgerufen am 27. Februar 2022