Tensorverjüngung

Die Tensorverjüngung oder Kontraktion ist ein mathematischer Begriff aus der linearen Algebra. Es ist eine Verallgemeinerung der Spur einer linearen Abbildung auf Tensoren, die mindestens einfach kovariant und einfach kontravariant sind.

Definition

Sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum und sei

$T_{s}^{r}(V):=\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{r{\text{-mal}}}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{s{\text{-mal}}}$

der Tensorraum der $r$-fach kontravarianten und $s$-fach kovarianten Tensoren (kurz: $(r,s)$-Tensoren) über $V$.

Als Verjüngung oder Kontraktion eines Tensors (genauer: $(k,l)$-Kontraktion) bezeichnet man die lineare Abbildung

$C_{l}^{k}:T_{s}^{r}(V)\rightarrow T_{s-1}^{r-1}(V)$

mit $1\leq k\leq r$ und $1\leq l\leq s$, welche durch

$v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r}\otimes \xi _{1}\otimes \cdots \otimes \xi _{s}\mapsto$

$\xi _{l}(v_{k})(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{k-1}\otimes v_{k+1}\otimes \cdots \otimes v_{r}\otimes \xi _{1}\otimes \cdots \otimes \xi _{l-1}\otimes \xi _{l+1}\otimes \cdots \otimes \xi _{s})$

definiert werden kann. Dabei ist $v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r}\otimes \xi _{1}\otimes \cdots \otimes \xi _{s}$ ein Element von $T_{s}^{r}(V)$. Nicht jedes Element von $T_{s}^{r}(V)$ ist von dieser Form, aber die Elemente dieser Form erzeugen den Tensorraum und die Abbildung ist wohldefiniert. Setzt man $n:=r+s$, so wird also aus einem Tensor $n$-ter Stufe ein Tensor der Stufe $n-2$.

Beispiele

• Interpretiert man eine Matrix als einen einfach ko- sowie kontravarianten Tensor, so ist die Verjüngung einer Matrix ihre Spur. Dies lässt sich sehr schnell einsehen, wenn man die Matrix $A\in \operatorname {End} (V)\cong V\otimes V^{*}$ als Linearkombination
  $A=\sum _{i,j}\lambda _{i}^{j}\,v_{i}\otimes \xi _{j}$
  darstellt. Hier bilden die $v_{i}$ eine Basis von $V$ und die $\xi _{j}$ die dazu duale Basis von $V^{*}$. Wendet man nun die Funktion $C_{1}^{1}$ an, so erhält man
  $C_{1}^{1}(A)=C_{1}^{1}\left(\sum _{i,j}\lambda _{i}^{j}\,v_{i}\otimes \xi _{j}\right)=\sum _{i,j}\lambda _{i}^{j}\delta _{ij}=\sum _{i}\lambda _{i}^{i}=\operatorname {Spur} (A).$
  Dies lässt erkennen, dass die Tensorverjüngung eine Verallgemeinerung des aus der linearen Algebra bekannten Spuroperators ist. Aus diesem Grund wird die Abbildung auch Spurbildung genannt.
• Man erhält aus dem riemannschen Krümmungstensor $R_{ijk}^{l}$ durch Verjüngung den Ricci-Tensor $R_{ik}=R_{ijk}^{j}$.

Literatur

• R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis, and Applications (= Applied Mathematical Sciences 75). 2nd Edition. Springer-Verlag, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7.