Benutzer:Helmut Rasinger

Geboren 1962 in Solothurn/Schweiz, österreichischer Staatsbürger. Aufenthaltsraum: Österreich/Frankreich. Studium: Mathematik/Physik. Hauptinteressensgebiete: Platonische Körper, universelle Zusammenhänge, Vereinfachungen. Reisen: Griechenland, Israel, Afrika

Analytische Funktionswerte für weitere Winkel

x		sin x	cos x
15°	π/12	${\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)$	$\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)^{-1}$
18°	π/10	${\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)$	${\frac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}$
22,5°	π/8	${\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$	${\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$
36°	π/5	${\frac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}$	$\left({\sqrt {5}}-1\right)^{-1}$
54°	3·π/10	${\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}+1\right)$	${\frac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}$
67,5°	3·π/8	${\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$	${\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$
72°	2·π/5	${\frac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}$	$\left({\sqrt {5}}+1\right)^{-1}$
75°	5·π/12	${\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)$	$\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)^{-1}$

Mit Hilfe von Additionstheoremen und Halbwinkelformeln (siehe Trigonometrische Funktion) kann man exakte Werte für weitere Winkel bestimmen. Der kleinste ganzzahlige Winkel für den das möglich ist, beträgt 3° = π/60. Der exakte Wert von sin(3°) ist jedoch ein komplizierter Wurzelausdruck:

$\sin(3^{\circ })={\frac {1}{16}}\left({\sqrt {30}}+{\sqrt {10}}-{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)+{\frac {1}{8}}\left(1-{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}$

Winkelfunktionswerte mit dem Goldenen Schnitt $\phi$ und seinem negativen Reziprokwert $\psi$.

$\qquad {\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}={\sqrt {2^{-2}}}+{\sqrt {2^{-2}+1}}=+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}}}\approx +1{,}61803$

$\qquad \qquad {\psi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}={\sqrt {2^{-2}}}-{\sqrt {2^{-2}+1}}=-{\sqrt {1-{\sqrt {1-{\sqrt {1-{\sqrt {1-{\sqrt {1-\cdots }}}}}}}}}}\approx -0{,}61803$

$\color {Gray}{}^{n}$	$\color {Gray}{}^{-}$	$\color {Gray}{}^{-5}$	$\color {Gray}{}^{-4}$	$\color {Gray}{}^{-3}$	$\color {Gray}{}^{-2}$	$\color {Gray}{}^{-1}$	$\color {Gray}{}^{0}$	$\color {Gray}{}^{+1}$	$\color {Gray}{}^{+2}$	$\color {Gray}{}^{+3}$	$\color {Gray}{}^{+4}$	$\color {Gray}{}^{+5}$	$\color {White}{|}{\dots }$
$2\,\sin \,[\,(2n+1)\,\pi \,/10\,]_{n\in \mathbb {Z} }=$	$\dots$	$+\psi$	$-\phi$	$-2$	$-\phi$	$+\psi$	$-\psi$	$+\phi$	$+2$	$+\phi$	$-\psi$	$+\psi$	$\dots$
$2\,\cos \,[\,(2n+0)\,\pi \,/10\,]_{n\in \mathbb {Z} }=$	$\dots$	$-2$	$-\phi$	$+\psi$	$-\psi$	$+\phi$	$+2$	$+\phi$	$-\psi$	$+\psi$	$-\phi$	$-2$	$\dots$

Rekursive analytische Winkelfunktionswerte

x		sin x
0°	0·π/2	$0$
45°	1·π/4	${\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}$
22+1/2°	1·π/8	${\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$
34-1/4°	3·π/16	${\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}$
28+1/8°	5·π/32	${\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}$
31-1/16°	11·π/64	${\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}}}$
29+17/32°	21·π/128	${\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}}}}}$
30+15/64°	43·π/256	${\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}}}}}}}$

Sinusargument: $x_{n}={\frac {\pi }{6}}\left[1-(-2)^{-n}\right]={\frac {\pi }{2}}\left[{\frac {(+1)^{-n}-{(-2)}^{-n}}{(+1)\quad -(-2)\quad }}\right]={f_{n}\cdot \pi }\;/\;{2^{n+1}}$

$(\;0_{{}_{0}}\;1_{{}_{1}}\;1_{{}_{2}}\;3_{{}_{3}}\;5_{{}_{4}}\;11_{{}_{5}}\;21_{{}_{6}}\;43_{{}_{7}}\;85_{{}_{8}}\;\dots \;f_{n}):\quad 2\cdot f_{n}+f_{n+1}=f_{n+2}$

(f_n)_n nennt man die Jacobsthal-Folge, eine gewichtete Fibonacci-Folge.

Das Sinusargument konvergiert gegen π/6. Daher gilt:

$-1=-{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2-\dots }}}}}}}}$

x		sin x
0°	0·π/2	$0$
45°	1·π/4	${\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}$
67+1/2°	3·π/8	${\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$
78+3/4°	7·π/16	${\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}$
84+3/8°	15·π/32	${\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}$
87+3/16°	31·π/64	${\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}}$
88+19/32°	63·π/128	${\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}}}}$
89+19/64°	127·π/256	${\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}}}}}}$

Sinusargument: $x_{n}={\frac {\pi }{2}}\left[1-2^{-n}\right]=-{\frac {\pi }{2}}\left[{\frac {(+1)^{-n}-{(+2)}^{-n}}{(+1)\quad -(+2)\quad }}\right]={f_{n}\cdot \pi }\;/\;{2^{n+1}}$

$(\;0_{{}_{0}}\;1_{{}_{1}}\;3_{{}_{2}}\;7_{{}_{3}}\;15_{{}_{4}}\;31_{{}_{5}}\;63_{{}_{6}}\;127_{{}_{7}}\;255_{{}_{8}}\;\dots \;f_{n}):\quad 2\cdot f_{n}+1=f_{n+1}$

(f_n)_n nennt man die Mersenne-Zahlen, nicht zu verwechseln mit den Mersenne-Primzahlen, welche eine Teilmenge davon sind.

Das Sinusargument konvergiert gegen π/2. Daher gilt:

$2={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots }}}}}}}}$

siehe auch:

Jacobsthal-Folge und Folge A001045 in OEIS

Mersenne-Zahlen und Folge A000225 in OEIS

Lucas-Folge, Abschnitt Spezialfälle

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Rasinger's binäre Ziffernformel

Die binäre Ziffernformel berechnet die n-te Dualziffer f(z) der Zahl z.

$f(z)_{n}={\frac {1-(-1)^{z \choose {2^{n}}}}{2}}$

Daher gilt:

$z=\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}\cdot f(z)_{n}$

Grundlage für die Ziffernformel

Die n-te Ziffer zur Basis b einer Zahl z entspricht dem Ausdruck:

${z \choose {b^{n}}}\%b$

wobei (modulo b), abgekürzt durch (%b), auf einen Binomialkoeffizienten angewendet wird.

Beispiel: 11 = 102 (tenär)

$102=10^{2}\cdot \left[{11 \choose {9}}\%3\right]+10^{1}\cdot \left[{11 \choose {3}}\%3\right]+10^{0}\cdot \left[{11 \choose {1}}\%3\right]$

Bemerkenswert: Die Ziffernformel, im Gewand einer geometrischen Reihe, kann Modulo-Berechnungen ersetzen.

$f(z)_{n}={\frac {(+1)^{z \choose {2^{n}}}-(-1)^{z \choose {2^{n}}}}{(+1)-(-1)}}$

Fazit: Bislang ist die Formel nur von zahlentheoretischem Interesse. Für Umrechnungen in die Binärbasis eignet sie sich nicht, da heutige Taschenrechner im allgemeinen nicht mit großen Binomialkoeffizienten umgehen können. Wie man die Formel umgestalten muß, um mit höheren Basen zu rechnen ist mir unbekannt. Die Formel wurde vor einigen Jahren von den Mathematikern Sebastian Ruiz und Azmir Ariff bewiesen, aber mangels Interesse meinerseits nie veröffentlicht.

Fibonacci & Co

Und noch eine Fibonacci-Formel

Es gibt Fibonacci-Formeln wie Sand am Meer, doch im Gegensatz zu anderen, ist diese vollständig parametrisiert. Aus dieser sehr allgemeinen Identität lassen sich viele spezielle Identitäten herleiten.

• ${\frac {f_{n+m+k}}{f_{n}\cdot f_{m}}}={\frac {f_{n+k}}{f_{m}\cdot f_{n-m}}}+{\frac {f_{m+k}}{f_{n}\cdot f_{m-n}}}$

Warum gibt es soviel Identitäten? Ganz einfach weil jede Polynom-Identität sich auch als Fibonacci-Identität darstellen läßt. Der große Vorteil des Fibonacci-System: es gestattet flexibles Umformen und bequemes Zusammenfassen von Ausdrücken mit Potenzen.

Kurze Herleitung für Binet-Lukasformel

Aus der Rekursionsformel $[f_{n+0}+f_{n+1}=f_{n+2}]$ und dem Lösungsansatz $[f_{n}=a^{n}]$ folgert man $[a^{n+0}+a^{n+1}=a^{n+2}]$ Nach Kürzung der Gleichung um den Faktor $[a^{n}]$ ermittelt man Lösungen für a aus der quadratischen Gleichung $[a^{0}+a^{1}=a^{2}]$

$\phi :=a_{+}=(1+{\sqrt {5}})/2;\qquad \psi :=a_{-}=(1-{\sqrt {5}})/2.$

Aus dem Gleichungssystem $[a^{n+0}+a^{n+1}=a^{n+2}]$ gewinnt man durch fortlaufendes Ersetzen der gegebenen Zeile in die beiden darauffolgenden Zeilen eine allgemeine Formel, die durch Induktion bewiesen wird.

$a^{0}+a^{1}=a^{2}\qquad \qquad \qquad \qquad a^{2}$ wird ersetzt in den nächsten beiden Zeilen.

$a^{1}+a^{2}=a^{3}\qquad \qquad \qquad \qquad \hookrightarrow 1\cdot a^{0}+2\cdot a^{1}=a^{3}$

$a^{2}+a^{3}=a^{4}\qquad \qquad \qquad \qquad \hookrightarrow 2\cdot a^{0}+3\cdot a^{1}=a^{4}$

$a^{3}+a^{4}=a^{5}\qquad \qquad \qquad \qquad \hookrightarrow 3\cdot a^{0}+5\cdot a^{1}=a^{5}$

$\dots \dots \dots \dots \qquad \qquad \qquad \qquad \Rightarrow f_{n-1}\cdot a^{0}+f_{n}\cdot a^{1}=a^{n}$

Damit hat man 2 Gleichungen als allgemeine Lösung, da $a=a_{\pm }$

$\phi ^{n}=f_{n}\cdot \phi +f_{n-1}$

$\psi ^{n}=f_{n}\cdot \psi +f_{n-1}$

Zusammenfassung mittels Differenz/Summe führt zur Binet-Formel/Lukas-Formel. Statt f_n schreibt und liest man öfter F_n, um ihre Eigenschaft als Berechnungsvorschrift für eine Zahlenfolge hervorzuheben. Da gilt $\phi +\psi =1\,$, reduziert sich die Lukas-Formel auf $L_{n}={\phi ^{n}+\psi ^{n}\,}$. Weil in der Literatur auf die symmetrische Schreibweise verzichtet wird, sei diese hier erwähnt.

Berechnungsvorschrift Fibonacci-Zahlenfolge, die Binet-Formel

${F_{n}={\frac {\phi ^{n}-\psi ^{n}}{\phi \;\;-\psi \;\;}}}$

Berechnungsvorschrift Lukas-Zahlenfolge, die Lukas-Formel

${L_{n}={\frac {\phi ^{n}+\psi ^{n}}{\phi \;\;+\psi \;\;}}}$

Zusammengesetzt zur Fibiluka-Formel, die Fibonacci-Binet-Lukas-Formel ;););)

${F_{n\mp }={\frac {\phi ^{n}\mp \psi ^{n}}{\phi \;\;\mp \psi \;\;}}}$

Rechenregeln im Fibonacci-System

Eine Zusammenfassung wichtiger Formeln des Fibonacci-Systems.

$\phi ^{\mp }\;\cdot \;\psi ^{\mp }=-1\,$

$\phi ^{\pm }+\psi ^{\mp }=0\,$

$\phi ^{\pm }+\psi ^{\pm }=+1\,$

$\phi -\psi ={\sqrt {5}}\,$

$\phi ^{n+0}+\phi ^{n+1}=\phi ^{n+2}\,$

$\psi ^{n+0}+\psi ^{n+1}=\psi ^{n+2}\,$

$\phi ^{n}=f_{n}\cdot \phi +f_{n-1}$

$\psi ^{n}=f_{n}\cdot \psi +f_{n-1}$

Primzahlketten

Motivation

Über logische Verbindungen bei Primzahlen. In einem Buch über Fermat (Quelle? Singh) wurde erzählt, daß autistische Zwillingsbrüder sich damit amüsierten, sich gegenseitig große Primzahlen mitzuteilen. (Fortsetzung später ..., muß zuerst nachlesen.)

Eine Primzahl, die ausschließlich mit Binärziffer "1" geschrieben wird, nennt man eine Mersenne-Primzahl.
binär	11	111	11111	1111111	1111111111111	11111111111111111	1111111111111111111111111111111	…
dezimal	3	7	31	127	8191	131071	2147483647	…
Berühmte Schlußfolgerung: Die Anzahl der Binärziffern ist ebenfalls prim.

Beispiel Mersenne-Primzahl

Die Mersenne-Zahl berechnet sich mit der Vorschrift:

$M(n)=2^{n}-1\,$

Themenschwerpunkt bei Mersenne-Zahlen ist Primalität. Der Definitionsbereich von n und M(n) sei bequemerweise:

$\quad D(n)=D(M(n))=\mathbb {S} =\mathbb {N} \setminus \{0,1\}$

Bemerkungen zur Schreibweise:

$\mathbb {S} \;$für Set, die englische Bezeichnung für Menge, als allgemeiner Bezeichner für eine Menge;

Aus [ n nicht prim ] folgt [ M(n) nicht prim ]:

${\big [}\;n={a\cdot b}\;{\big ]}\;\Rightarrow {\big [}\;M(n)=x\cdot y{\big ]}\;$      (A1)

Begründung:

$2^{a\cdot b}-1=(2^{a})^{b}-1=\underbrace {{\Bigg [}{\frac {(2^{a})^{b}-1}{2^{a}-1}}{\Bigg ]}} _{x\;\in \;\mathbb {S} }\cdot \underbrace {{\Bigg [}{\frac {2^{a}-1}{2-1}}{\Bigg ]}} _{y\;\in \;\mathbb {S} }$

Der logische Umkehrschluß von Aussage (A1):

Aus [ M(n) prim ] folgt [ n prim ]

${\big [}\;M(n)\in \mathbb {P} \;{\big ]}\;\Rightarrow {\big [}\;n\in \mathbb {P} \;{\big ]}\;$      (A2)

Schlußfolgerung

Für Fibonacci-Zahlen F(n) ist ebenfallls bewiesen worden:

$n\geq 5:\quad {\big [}\;F(n)\in \mathbb {P} \;{\big ]}\;\Rightarrow {\big [}\;n\in \mathbb {P} \;{\big ]}\;$      (A3)

Nun könnte man die Funktionen sammeln für die gilt: [ f(n) prim, dann n prim ]. Sodann werden die Primzahlen logisch verbunden, zu einer Primzahlkette. Möglicherweise verbinden sich die Ketten zu einem Netz. Machen wir also die ersten Schritte in der Primzahlkette, eigentlich haben wir augenblicklich nur ein paar kurze Fäden, aber das kann nur besser werden.

Beispiele

618970019642690137449562111=M(89)=M(F(11)), eine gemischte Mersenne-Fibonacci-Primzahl-Kette:

${\big [}\;618970019642690137449562111\in \mathbb {P} \;{\big ]}\;{\overset {M}{\Rightarrow }}{\big [}\;89\in \mathbb {P} \;{\big ]}\;{\overset {F}{\Rightarrow }}{\big [}\;11\in \mathbb {P} \;{\big ]}\;$

Eine reine Mersenne-Primzahl-Kette:

$M(127)=M(M(7))=M(M(M(3))=M(M(M(M(2))))\,$

${\big [}\;170141183460469231731687303715884105727\in \mathbb {P} \;{\big ]}\;{\overset {M}{\Rightarrow }}{\big [}\;127\in \mathbb {P} \;{\big ]}\;{\overset {M}{\Rightarrow }}{\big [}\;7\in \mathbb {P} \;{\big ]}\;{\overset {M}{\Rightarrow }}{\big [}\;3\in \mathbb {P} \;{\big ]}\;{\overset {M}{\Rightarrow }}{\big [}\;2\in \mathbb {P} \;{\big ]}\;$

Und eine FFMM-Primzahlkette

$233=F(13)=F(F(7))=F(F(M(3)))=F(F(M(M(2))))\,$

Vielleicht sollte man sich über die Schreibweise noch Gedanken machen.

Aus großen Primzahlen eine Menge von kleineren Primzahlen abzuleiten ist relativ leicht. Der umgekehrte Weg benötigt in gewisser Weise die Gesamtinformation der "kleinen Primzahlen", wie beispielsweise der Satz von Wilson oder andere Verfahren zeigen. Vermutlich haben sich die eingangs erwähnten Zwillinge mit solchen Primzahlketten köstlich amüsiert.