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Zugbasiertes Spiel

Ein zugbasiertes Spiel ist ein 9-Tupel $G=(n,S,s_{0},E,V,f_{p},f_{v},f_{s},f_{w})$ mit:

• Anzahl der Spieler $n\in \mathbb {N}$, den Zufallsspieler nicht mitgezählt
• Menge der Spielzustände $S$
• Startzustand $s_{0}\in S$
• Endzustände $E\subseteq S$, sei $A=S\setminus E$
• Menge der Ansichten $V\neq \emptyset$
• Spielerfunktion $f_{p}:A\rightarrow \{0,...,n\}$, die den Spieler am Zug bestimmt.
• Sichtfunktion $f_{v}:A\times \{1,...,n\}\rightarrow V$, die festlegt, welche Information über den aktuellen Spielzustand jeder Spieler erhält.
• Übergangsfunktion $f_{s}:A\times [0,1[\,\rightarrow S\setminus \{s_{0}\}$, die aus dem alten Zustand und dem Zug den neuen Zustand bestimmt.
• Gewinnfunktion $f_{w}:S\times \{0,...,n\}\rightarrow \mathbb {R}$, die jedem Spieler einen Gewinn zuweist.

Sei $s_{i}$ mit $i\in \mathbb {N}$ der aktuelle Zustand. Wenn $s_{i}\in A$, dann wählt der Spieler $f_{p}(s_{i})$ den nächsten Zug $m_{i}\in [0,1[$. Dabei bezeichnet $f_{p}(s_{i})=0$ den Zufallsspieler, der seinen Zug gleichverteilt ($\forall [a,b[\,\subseteq [0,1[\,:P(m_{i}\in [a,b[)=b-a$) und unabhängig von den bisherigen Zügen $m_{0}$ bis $m_{i-1}$ wählt. Der nächste Zustand ist dann $s_{i+1}=f_{s}(s_{i},m_{i})$. Der gesamte Gewinn von Spieler $k$ nach $i$ Zügen ist $\textstyle \sum _{j=0}^{i}f_{w}(s_{j},k)$.

Das Tupel $G$ und die Zuordnung der Werte von $f_{p}$ zu den Spielern ist allen Spielern vorab bekannt, d. h. alle kennen die Spielregeln und ihre jeweilige Rolle im Spiel. Nach jedem Zug erhält jeder Spieler eine Information über den aktuellen Zustand: In Zustand $s_{i}$ bekommt Spieler $k\in \{1,...,n\}$ den Funktionswert $f_{v}(s_{i},k)$ mitgeteilt. Er erfährt auch seinen Gewinn $f_{w}(s_{i},k)$. Weitere Information über den Spielverlauf erhalten die Spieler nicht.

Mit der Zugmenge $[0,1[$ lässt sich das Verhalten des Zufallsspielers problemlos definieren (Gleichverteilung). Das bedeutet andererseits praktisch keine Einschränkung gegenüber einer allgemeineren Zugmenge. Jede endliche Zugmenge kann durch Aufteilung von $[0,1[$ in Teilintervalle dargestellt werden, und in einer reellen Zahl können mehrere (sogar abzählbar unendlich viele) reelle Zahlen codiert werden.

• endliches Spiel: $S$ ist endlich
• zyklusfreies Spiel: ein früherer Spielzustand kann nicht wiederholt werden, $i\neq j\Rightarrow s_{i}\neq s_{j}$
• zufallsfreies Spiel: $\forall s\in A:f_{p}(s)\neq 0$
• Spiel mit zufallsfreiem Verlauf: $\forall s\in A\setminus \{s_{0}\}:f_{p}(s)\neq 0$
• Spiel mit perfekter Information: für jeden Spieler $k\in \{1,...,n\}$ ist die Abbildung $A\rightarrow V:s\mapsto f_{v}(s,k)$ injektiv
• endloses Spiel: $E=\emptyset$
• Konstantsummenspiel: $\forall s\in S\setminus \{s_{0}\}:\textstyle \sum _{k=1}^{n}f_{w}(s,k)=0$

Halali 9x9

Name	Partei	Anzahl	Wert (Punkte)	Zugweite	Schlägt
Bär	blau	3	10	1	Jäger, Holzfäller
Fuchs	blau	10	5	beliebig	Fasan, Ente
Biber	blau	2	5	1	Laubbaum
Jäger	braun	12	5	beliebig	Bär, Fuchs, Biber, Fasan, Ente
Holzfäller	braun	3	5	1	Laubbaum, Nadelbaum
Fasan	neutral	13	3	beliebig	-
Ente	neutral	12	2	beliebig	-
Laubbaum	neutral	13	2	-	-
Nadelbaum	neutral	12	2	-	-

Spieldatenbank

Gegeben ein Spiel für zwei Parteien, ohne Zufall und mit perfekter Information, in dem es neben den Ausgängen Partei 1 gewinnt und Partei 2 gewinnt höchstens noch einen weiteren möglichen Ausgang gibt, nämlich remis (unentschieden).

Wähle zunächst eine nicht zu große Teilmenge $T\subseteq S$ aller Spielsituationen $S$, da es bei einem ernsthaften Spiel in der Regel zu viele Situationen gibt, um sie alle zu erfassen. Die Teilmenge muss abgeschlossen sein, d. h. durch einen Zug in einer Situation in $T$ entsteht immer eine Situation, die ebenfalls in $T$ liegt.

Bestimme eine Indexfunktion $i:T\rightarrow \mathbb {N}$, die den Index in ein Array angibt, in dem Informationen zu jeder Situation gespeichert werden, wobei verschiedene Situationen verschiedene Indizes bekommen müssen. Man kann aber Symmetrien nutzen, um Platz zu sparen: zwei verschiedene, aber effektiv gleiche Situationen $x,y$ können auf den gleichen Index $i(x)=i(y)$ abgebildet werden. Das betrifft zum Beispiel zueinander links-rechts-symmetrische Schachstellungen, in denen es keine Rochaderechte mehr gibt. In das Array wird zu jeder Situation zunächst unbewertet eingetragen. Außerdem werden die Einträge für Partei 1 gewonnen und für Partei 2 gewonnen vorgesehen, in Verbindung mit der Zahl der Züge (d. h. Halbzüge) bis zur Endsituation bei beiderseits optimalem Spiel.

Ermittle alle Endsituationen in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} , die von einer Partei gewonnen sind, und trage in das Array die entsprechende Bewertung ein. Als Zahl der Züge wird 0 eingetragen, da kein Zug bis zur Endsituation mehr zu spielen ist.

Dann werden in der Hauptschleife des Programms immer wieder alle noch nicht bewerteten Situationen s betrachtet. Die in s möglichen Züge werden ermittelt, und für jeden wird die zur erreichten Situation im Array eingetragene Information ausgelesen. Dadurch teilt man die Züge in Gewinnzüge, Verlustzüge und unbewertete ein. Gibt es in s nur Verlustzüge, trägt man ein, dass s für die Partei am Zug verloren ist, zusammen mit einer Zügezahl, die das Maximum der Zügezahlen der erreichten Situationen ist, plus Eins, weil der Zug von s aus mitzuzählen ist. Die Partei am Zug versucht mit ihrer Wahl, die Niederlage möglichst lange hinauszuzögern.

Gibt es Gewinnzüge, dann gewinnt die Partei am Zug in soviel Zügen, wie das Minimum der Zügezahlen der dadurch erreichten Situationen beträgt, wiederum plus Eins. Wenn es aber auch unbewertete Züge gibt, darf man s nur bewerten, wenn sicher ist, dass keiner davon schneller gewinnt als die ermittelten Gewinnzüge. Das ist der Fall, wenn im n-ten Durchlauf der Hauptschleife der schnellste Gewinnzug nicht mehr als n Züge braucht. Im ersten Durchlauf werden alle Situationen bewertet, die in einem Zug gewonnen oder verloren sind. Im zweiten werden alle bewertet, die in höchstens zwei Zügen beendet werden usw. Im n-ten Durchlauf sind also alle entschiedenen Situationen, die höchstens n-1 Züge bis zum Ende brauchen, bereits bewertet. Jeder Zug, der in weniger als n Zügen gewinnt, wird somit gefunden.

Dies setzt man fort, bis bei einem Schleifendurchlauf keine weitere Situation mehr bewertet wird. Die noch unbewerteten Situationen sind dann remis.

Das Vorgehen als Pseudocode im Pascal-Stil:

for each s in T   { bewerte Endsituationen }
   Z(s) := 0     { Z(s) ist Abkürzung für Z(i(s)) mit Indexfunktion i }
   if s ist für Spieler 1 gewonnen then
      B(s) := 1  { auch hier eigentlich B(i(s)) }
   else if s ist für Spieler 2 gewonnen then
      B(s) := 2
   else
      B(s) := 0   { unbewertet }
   end if
end for
w := true
n := 1
inf := 999999 { symbolisch unendlich; größer als jede vorkommende Zügezahl }
while w
   w := false
   for each s in T
      if B(s) = 0 then
         mover := Zugrecht(s)  { Partei, die in s am Zug ist (1 oder 2) }
         win := inf
         loss := 0
         zl := Zugliste(s)
         for each m in zl      { alle in s möglichen Züge }
            p := Situation(s,m)  { Situation, die durch Zug m aus s entsteht }
            if B(p) = mover then   { m ist Gewinnzug für mover }
               if win > Z(p) then win := Z(p) end if
            else if B(p) = 0 then   { p ist noch unbewertet }
               loss := inf
            else                   { m verliert }
               if loss < Z(p) then loss := Z(p) end if
            end if
         end for
         if win < inf and (win <= n or loss < inf) then
            B(s) := mover    { mover gewinnt }
            Z(s) := win + 1   { Halbzüge bis zum Sieg, m eingerechnet }
            w := true
         else if win = inf and loss < inf then  { alle Züge verlieren }
            B(s) := 3 - mover   { die andere Partei }
            Z(s) := loss + 1   { Halbzüge bis Niederlage }
            w := true
         end if
      end if
   end for
   n := n + 1
end while

Anwendung auf Schach

Eine überschaubare Größe von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} ergibt sich durch Begrenzen der Figurenzahl. Mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} Steinen sind grob Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2^{6n+1}} Stellungen möglich. Mehr, wenn Bauernumwandlungen berücksichtigt werden, jedoch weniger, wenn man Symmetrien nutzt. Die Abgeschlossenheit folgt daraus, dass die Zahl der Steine nicht größer werden kann.

Die Regel der dreifachen Stellungswiederholung kann ignoriert werden. An der Bewertung der entschiedenen Situationen ändert das nichts, denn um einen Gewinn zu realisieren, muss man keine Wiederholung herbeiführen. Die am Ende noch unbewerteten Situationen können von keinem Spieler gewonnen werden, egal, ob bei Stellungswiederholung die Partie beendet wird oder ob sie endlos weiter geht.

Anders sieht es bei Spielen aus, die eine Stellungswiederholung nur eingeschränkt erlauben oder ganz verbieten, wie etwa Xiangqi oder Arimaa. Wenn man diese Regel auch hier ignoriert, gilt für die entschiedenen Situationen das gleiche wie oben, aber die unbewerteten sind zum Teil für eine Partei gewonnen, weil sie die Gegenpartei in eine Situation treiben kann, in der wegen der Stellungswiederholungsregel bestimmte Züge, die die Niederlage abwenden würden, nicht erlaubt sind.

Auch die 50-Züge-Regel wird meist ignoriert. Im Nachhinein kann man in vielen Fällen anhand der Zügezahl bis zum Matt, die für eine Stellung ermittelt wurde, entscheiden, ob sie wegen der 50-Züge-Regel remis ist. Wenn die Zügezahl nicht größer 100 ist, dann ist sie entschieden. Anderenfalls kommt es darauf an, ob während der Gewinnführung Bauern gezogen werden oder etwas geschlagen wird, und ggfs., ob es alternative Gewinnführungen gibt, um die 50-Züge-Regel zu umgehen.

Pendel

Die Schwingungsdauer des physikalischen Pendels ergibt sich zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T = \frac {2 \pi} {\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac {I} {gmd}}}

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\omega} } die Kreisfrequenz, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I } das Trägheitsmoment bzgl. des Aufhängepunktes, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m } die Masse des Körpers, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} die Schwerebeschleunigung und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d } der Abstand vom Aufhängungspunkt zum Massenmittelpunkt ist. Dabei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle mgd} ein Maß für das Moment, das die Schwerkraft auf das ausgelenkte Pendel ausübt, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m } ist also die schwere Masse des Pendelkörpers.

Einfaches Pendel

Pendel mit kompakter Pendelmasse und einem Stab/Faden, dessen Masse und Volumen klein sind.

Wenn der Pendelkörper nicht zu ausgedehnt ist, kann man sein Trägheitsmoment angenähert zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I=\overline m d^2} berechnen, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline m} seine träge Masse bezeichnet (normalerweise gleich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} gemäß Äquivalenzprinzip):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T = 2 \pi \sqrt{\frac {\overline m d} {g m}}}

Betrachtet man auch die Luft mit der Dichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho_L} , in der das Pendel schwingt, und sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho} die Dichte und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v} das Volumen des Pendelkörpers, ergibt sich die schwere Masse wegen des Auftriebs des Pendelkörpers zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m=v(\rho-\rho_L)} . Auch die träge Masse ändert sich, da der sich bewegende Pendelkörper Luft verdrängt und in Bewegung setzt. Seine träge Masse erhöht sich dadurch auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline m=v(\rho+k\rho_L)} , wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k\approx 1} ein Korrekturfaktor für die Ausbildung der Luftströmung um den Pendelkörper ist.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T = 2 \pi \sqrt{\frac {(\rho+k\rho_L) d} {(\rho-\rho_L) g}}} .

Mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho_L = 1{,}2 \, g/l} bei 20°C,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho = 8{,}6 \, g/cm^3} für Messing

und mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k=1} ergibt sich für eine Erhöhung des Luftdrucks um 1 mbar (und damit um 0,1%):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{T_2^2}{T_1^2} = \frac {(\rho+k\rho_{L2}) d (\rho-\rho_{L1}) g} {(\rho-\rho_{L2}) g (\rho+k\rho_{L1}) d} = \frac{8{,}5988 \cdot 8{,}6012012}{8{,}6012 \cdot 8{,}5987988} = 1{,}00000027907; \quad 1-\frac{T_2}{T_1} = 0{,}13953 \cdot 10^{-6}} .

Die Periode verlängert sich um Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1{,}4 \cdot 10^{-7}} , was einer Abweichung von 0,012 s/Tag entspricht. Eine Temperaturerhöhung von 20 auf 21°C bewirkt eine Beschleunigung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4{,}8 \cdot 10^{-7}} oder 0,041 s/Tag (ohne Wärmeausdehnung des Pendels).

Zum Vergleich: Beträgt die Wärmeausdehnung des Pendelwerkstoffs 4·10^-6/K, dann bewirkt eine Temperaturerhöhung um 1 K eine Verlangsamung um 2·10^-6 oder 0,173 s/Tag (wobei der Einfluss der sich ebenfalls ändernden Luftdichte nicht berücksichtigt ist). Um den Temperaturfehler auszugleichen, müsste das Pendel eine Wärmeausdehnung von etwa 1·10^-6/K aufweisen, damit sich die Effekte gegenseitig kompensieren.

Stabpendel

Pendel aus einem Stab der Länge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l} , Querschnitt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} und Dichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho} , der an einem Ende aufgehängt ist.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m = A l \rho}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T = 2 \pi \sqrt{\frac {\tfrac13 l^2 m} {g m \tfrac12 l}} = 2 \pi \sqrt{\frac {\tfrac13 l \rho}{\tfrac12 g \rho}}}

In Luft der Dichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho_L} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T = 2 \pi \sqrt{\frac {\tfrac13 l (\rho + k\rho_L)}{\tfrac12 g (\rho - \rho_L)}}}

Pendel mit Stange

Ein Sekundenpendel bestehe aus einer Stange mit Radius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} , Länge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l} , Dichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho_S} und Wärmeausdehnung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma} sowie einer Linse mit Volumen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z^3} , Dichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho} , Trägheitsmoment Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f z^5 \rho} und Wärmeausdehnung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} , die in ihrem Schwerpunkt am unteren Ende der Stange angebracht ist.

Masse Stange:Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n = \pi r^2 l \rho_S}

Masse Linse:Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m = z^3 \rho}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T = 2\pi\sqrt{\frac{\tfrac13 l^2 n+m(l^2 + f z^2)}{g(n \tfrac l2 + ml)}} = 2\pi\sqrt{\frac{\tfrac{\pi}{3} l^3 r^2 (\rho_S+k_S\rho_L) + z^3(\rho+k\rho_L)(l^2 + f z^2)}{g(\tfrac{\pi}{2} r^2 l^2(\rho_S-\rho_L) + z^3(\rho-\rho_L)l)}}}

Mit Wärmedehnung bei Erhöhung der Temperatur von 293 auf 294 K:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_h = 2\pi\sqrt{\frac{\tfrac{\pi}{3} (l(1+\sigma))^3 (r(1+\sigma))^2 (\rho_S(1-3\sigma)+k_S\rho_L\tfrac{294}{293}) + (z(1+\alpha))^3(\rho(1-3\alpha)+k\rho_L\tfrac{294}{293})((l(1+\sigma))^2 + f (z(1+\alpha))^2)}{g(\tfrac{\pi}{2} (r(1+\sigma))^2 (l(1+\sigma))^2(\rho_S(1-3\sigma)-\rho_L\tfrac{294}{293}) + (z(1+\alpha))^3(\rho(1-3\alpha)-\rho_L\tfrac{294}{293})l(1+\sigma))}}}

Die Periode soll unabhängig von der Temperatur sein, also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T = T_h} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{\tfrac{\pi}{3} l^3 r^2 (\rho_S+k_S\rho_L) + z^3(\rho+k\rho_L)(l^2 + f z^2)\}\cdot}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{\tfrac{\pi}{2} (r(1+\sigma))^2 (l(1+\sigma))^2(\rho_S(1-3\sigma)-\rho_L\tfrac{294}{293}) + (z(1+\alpha))^3(\rho(1-3\alpha)-\rho_L\tfrac{294}{293})l(1+\sigma)\} =}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{\tfrac{\pi}{3} (l(1+\sigma))^3 (r(1+\sigma))^2 (\rho_S(1-3\sigma)+k_S\rho_L\tfrac{294}{293}) + (z(1+\alpha))^3(\rho(1-3\alpha)+k\rho_L\tfrac{294}{293})((l(1+\sigma))^2 + f (z(1+\alpha))^2)\}\cdot}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{\tfrac{\pi}{2} r^2 l^2(\rho_S-\rho_L) + z^3(\rho-\rho_L)l\}}

Mehrere Pendelkörper

Mit mehreren kompakten Pendelkörpern gleicher Dichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho} , deren Schwerpunkte in Ruhelage auf einer Vertikalen durch den Aufhängungspunkt liegen, ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I=\sum_i \overline m_i d_i^2 = \sum_i v_i (\rho+k\rho_L) d_i^2} ,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v = \sum_i v_i, \; d = \frac{\sum_i d_i v_i}{v} } ,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T = 2 \pi \sqrt{\frac {(\rho+k\rho_L) \sum_i v_i d_i^2} {g(\rho-\rho_L)vd}}} .

Betrachten wir ein Pendel mit zwei gleichen kompakten Pendelkörpern auf gleicher Höhe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} unterhalb des Aufhängungspunkts und um Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} seitlich versetzt, symmetrisch zur Aufhängung, jeweils mit Dichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho} . Die Körper sind an einem Balken aus Material B angebracht, der über eine vertikale Stange der Länge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} aus Material S mit dem Aufhängungspunkt verbunden ist. Die Masse und elastische Verformung von Balken und Stange wird vernachlässigt. Mit dieser Anordnung ergibt sich:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T = 2 \pi \sqrt{\frac {(\rho+k\rho_L) (r^2 + d^2)} {g(\rho-\rho_L)d}}} .

Mit den Ausdehnungskoeffizienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha_S,\alpha_B} ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r(\vartheta) = r(\vartheta_0) (1+(\vartheta-\vartheta_0)\alpha_B)} ,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(\vartheta) = s(\vartheta_0) (1+(\vartheta-\vartheta_0)\alpha_S) - (s(\vartheta_0)-d(\vartheta_0)) (1+(\vartheta-\vartheta_0)\alpha_B) } .

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} soll von der Temperatur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vartheta} unabhängig sein, also:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac {r^2 + d^2} {d} = \frac {r_o^2 + d_o^2} {d_o}}

mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r_o = r(1+\alpha_B), \; d_o = s(1+\alpha_S)-(s-d)(1+\alpha_B)} .

Nach Einsetzen, Umformen und Entfernen von Summanden, die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha_S^2} etc. enthalten, ergibt das

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h (r^2-d^2) \alpha_S = (d^2(d - s) + r^2(d + s)) \alpha_B} .

Sonderfälle:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r=0: \; s\alpha_S = (s-d)\alpha_B}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s=d: \; (r^2-d^2) \alpha_S = 2r^2 \alpha_B}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r=d: \; \alpha_B = 0}