Catalansche Konstante

Die catalansche Konstante, üblicherweise mit $G$ bezeichnet, ist eine mathematische Konstante. Sie ist der Wert der Reihe

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)^2} = 1 - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots ,}

also der Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta(2)} der dirichletschen Betafunktion an der Stelle 2. Die Konstante ist nach Eugène Catalan benannt. Ihre Irrationalität wird vermutet, ist aber bis heute unbewiesen. Bekannt ist, dass unendlich viele der Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta(2k), k= 1,2,3, \ldots} , irrational sein müssen, dabei mindestens eine von $\beta (2),\beta (4),\beta (6),\beta (8),\beta (10),\beta (12)$ und $\beta (14)$.

Geschichte und Bezeichnung

Catalan bezeichnete diese Konstante in einer Arbeit von 1867 mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} und gab zahlreiche Integral- und Reihendarstellungen dafür an.

Wert

Ein Näherungswert ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G = 0,91596\ 55941\ 77219\ 01505\ 46035\ 14932\ 38411\ 07741\ 49374\ 28167\ \dots} (Folge A006752 in OEIS)

Derzeit (5. Juli 2022) sind, nach einer Berechnung von Seungmin Kim vom 9. März 2022, 1.200.000.000.100 Nachkommastellen bekannt. Diese Berechnung dauerte auf einem Cluster mit 24 Prozessoren und ca. 440 GB Arbeitsspeicher knapp 49 Tage.

Weitere Darstellungen

Es gibt eine reichhaltige Fülle anderer Darstellungen, ein Bruchteil davon wird im Folgenden wiedergegeben:

Integraldarstellungen

$G=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln x}{x^{2}+1}}\,{\rm {d}}x$

$G=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan x}{x}}\,{\rm {d}}x$

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G = \int_0^1\!\!\int_0^1 \frac{1}{1 + x^2 y^2}\, {\rm d}x\,{\rm d}y}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G = \frac{1}{2}\int_0^\infty \frac{\arctan(x)}{x\sqrt{x^2+1}} \mathrm{d}x}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G = \frac{1}{2}\int_0^1 \frac{\arcsin(x)}{x\sqrt{1-x^2}} \mathrm{d}x}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G = \frac{1}{2}\int_0^1 K(x) \mathrm{d}x}

$G=\int _{0}^{1}E(x)\mathrm {d} x-{\frac {1}{2}}$

Dabei ist K das vollständige elliptische Integral erster Art und E das vollständige elliptische Integral zweiter Art.

Reihendarstellungen

Nach S. Ramanujan gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G = \frac{\pi}{8} \ln\left(2 + \sqrt{3}\right) + \frac3{8} \sum_{n=0}^\infty \frac1{(2n+1)^2\binom{2n}{n}}\ .}

Eine andere Reihe enthält die Riemannsche Zetafunktion:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G = \frac{1}{16}\sum_{n=1}^\infty (n+1) \frac{3^n-1}{4^n} \zeta(n+2)\ .}

Sehr schnell konvergiert folgende Summe (Alexandru Lupaş 2000):

$G={\frac {1}{64}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}\cdot 2^{8n}\cdot (40n^{2}-24n+3)\cdot (2n)!^{3}\cdot n!^{2}}{n^{3}\cdot (2n-1)\cdot (4n)!^{2}}}\ .$

Nach Jesus Guillera gelten folgende Reihen, welche schneller konvergieren, als die Reihe von Lupaş:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-8)^k(3k+2)}{(2k+1)^3\binom{2k}{k}^3}} ,

$G=-{\frac {1}{1024}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-4096)^{k}\left(45136k^{4}-57184k^{3}+21240k^{2}-3160k+165\right)}{k^{3}(2k-1)^{3}}}\left({\frac {(2k)!^{6}(3k)!^{3}}{k!^{3}(6k)!^{3}}}\right)$.

Nach Pilehrood gelten folgende Reihen, welche ebenfalls schneller konvergieren, als die Serie von Lupaş:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G=\frac{1}{64}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{256^k\left(580k^2-184k+15\right)}{ k^3(2k-1)\binom{6k}{3k}\binom{6k}{4k}\binom{4k}{2k} }} ,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G=-\frac{1}{64}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{ (-256)^k\left(419840k^6-915456k^5+782848k^4-332800k^3+73256k^2-7800k+315\right) }{ k^3(2k-1)(4k-1)^2(4k-3)^2\binom{8k}{4k}^2\binom{2k}{k} }} .

BBP-artige Reihen

Man hat lange nach einer BBP-Reihe gesucht. Zunächst wurden nur sehr lange Exemplare gefunden. Relativ kurz ist die 9-gliedrige von Victor Adamchik (2007):

${\textstyle G={\frac {3}{64}}\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{64^{n}}}\left({\frac {32}{(12n+1)^{2}}}-{\frac {32}{(12n+2)^{2}}}-{\frac {32}{(12n+3)^{2}}}-{\frac {8}{(12n+5)^{2}}}-{\frac {16}{(12n+6)^{2}}}-{\frac {4}{(12n+7)^{2}}}-{\frac {4}{(12n+9)^{2}}}-{\frac {2}{(12n+10)^{2}}}+{\frac {1}{(12n+11)^{2}}}\right)}$

Literatur

• E. Catalan: Mémoire sur la transformation des séries et sur quelques intégrales définies (1. April 1865), Mémoires couronnés et mémoires des savants étrangers 33, 1867, S. 1–50 (französisch; „G=0,915 965 594 177 21“ auf S. 30; im Internet-Archiv: [1])
• L. A. Ljusternik: Mathematical Analysis. Functions, Limits, Series, Continued Fractions, 1965, S. 313–314 (englisch)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Catalan’s Constant. In: MathWorld (englisch).
• Catalan constant bei The Wolfram Functions Site (englisch; mit Berechnungsmöglichkeit)
• Folge A014538 in OEIS (Kettenbruchentwicklung von G)
• Folge A054543 in OEIS (Engel-Entwicklung von G)
• Folge A132201 in OEIS (Pierce-Entwicklung von G)