Satz von Sylvester-Gallai

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Der Satz von Sylvester-Gallai ist ein mathematischer Satz der ebenen Geometrie. Er besagt, dass zu jeder endlichen Menge von Punkten, die nicht alle auf einer Geraden, aber in einer Ebene liegen, eine Gerade existiert, die genau zwei Punkte der Menge enthält. Benannt ist er nach James Joseph Sylvester, der die Aussage 1893 in der Educational Times erstmals formulierte,[1] und Tibor Gallai, der 1944 den ersten Beweis veröffentlichte[2], nachdem Paul Erdős das Problem 1943 neu stellte.[3] Der erste bekannte Beweis stammt von Eberhard Melchior aus dem Jahre 1940.[4]

Aussage

Sei eine endliche Menge von in einer Ebene liegenden Punkten, die nicht alle auf einer Geraden liegen. Dann gibt es eine Gerade, die genau zwei Punkte von enthält.

Eine alternative äquivalente Formulierung lautet:

Sei eine endliche Menge von Punkten der Ebene mit folgender Eigenschaft: Auf jeder Geraden durch zwei Punkte aus liegt mindestens ein dritter Punkt dieser Menge. Dann liegen alle Punkte aus auf einer Geraden.

Die Aussage gilt in unveränderter Form auch in höherdimensionalen Räumen; indem man drei Punkte wählt, die nicht auf einer Geraden liegen, und die durch sie bestimmte Ebene betrachtet, lässt sich das Problem auf den zweidimensionalen Fall zurückführen.

Beweis

Der folgende Beweis geht auf Leroy Milton Kelly zurück.[5] Er wird häufig als Musterbeispiel eines eleganten Beweises zitiert.

Wir betrachten Paare bestehend aus einer Geraden durch zwei Punkte aus und einem Punkt , der nicht auf liegt. Da nicht alle Punkte aus auf einer Geraden liegen, gibt es solche Paare. Außerdem gibt es auch nur endlich viele solche Paare, da die Menge endlich ist. Damit können wir ein Paar auswählen, sodass der Abstand, den von hat, minimal wird. Es bleibt zu zeigen, dass die gewünschte Eigenschaft besitzt, dass es also keinen dritten Punkt aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{P}} gibt, der auf ihr liegt.

Konstellation der Punkte und Geraden im entscheidenden Beweisschritt

Dazu nehmen wir an, es gäbe drei solche Punkte. Sei zunächst Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} der Fußpunkt des Lotes von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} . Nach dem Schubfachprinzip gibt es dann zwei Punkte von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{P}} , die auf der gleichen Seite von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} liegen, diese seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} , wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} näher an Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} liege als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} . Dann ist der Abstand von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} zur Geraden durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} kleiner als der Abstand von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} , denn er ist höchstens so groß wie der Abstand von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle AP} , der als Höhe im rechtwinkligen Dreieck Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle APF} kleiner ist als die Länge der Kathete Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle PF} .

Dies ist ein Widerspruch zur Wahl von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (g, P)} , denn die Gerade durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} bildet demnach zusammen mit dem Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} ein Paar mit kleinerem Abstand. Somit muss die Annahme falsch sein, auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} liegen damit wie gewünscht genau zwei Punkte aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{P}} .

Es gibt eine Reihe weiterer Beweise für den Satz von Sylvester-Gallai. So konnte H. S. M. Coxeter zeigen, dass die Anordnungsaxiome allein bereits zum Beweis ausreichen, der Begriff eines Abstandes also nicht notwendig ist.

Weitere Beweise stammen unter anderem von Robert Steinberg (siehe unten), Robert Creighton Buck,[6] Norman Steenrod,[6] Abraham Robinson,[7] G. D. W. Lang (1955)[8] und V. C. Williams (1968).[9] Ein Beweis des äquivalenten projektiv-dualen Satzes stammt von Eberhard Melchior (* 1912) aus dem Jahr 1940 und ist somit der erste Beweis.[10] Er benutzt den Eulerschen Polyedersatz in projektiver Form.

Anwendung

Die Fano-Ebene besteht aus 7 Punkten und 7 Geraden, wobei auf jeder Geraden drei Punkte liegen. Daher muss eine der Geraden als Kreis dargestellt werden.

Eine direkte Folge aus dem Satz von Sylvester-Gallai ist die Tatsache, dass sich die Fano-Ebene nicht in die euklidische Ebene einbetten lässt.

Der Satz gilt auch in der projektiven Ebene (Robert Steinberg)[11], sodass man die duale Aussage ableiten kann: Zu einer endlichen Menge von Geraden, die nicht alle durch einen Punkt gehen, gibt es einen Punkt, der auf genau zwei dieser Geraden liegt.

Eine Folgerung ist ein geometrischer Beweis des Satzes von de Bruijn und Erdös in der Inzidenzgeometrie.

Verallgemeinerungen

Nach dem Satz von Sylvester-Gallai gibt es zu jeder endlichen, nicht kollinearen Punktemenge mindestens eine Gerade, die durch genau zwei der Punkte geht. Von Dirac und Motzkin stammt die Vermutung, dass es zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} Punkten sogar mindestens Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lfloor n/2 \rfloor} solcher Geraden gibt.[12] Andererseits sind für gerade Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} Konstruktionen bekannt, bei denen tatsächlich genau Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n/2} solcher Geraden existieren, sodass die Schranke nicht verbessert werden kann. Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} ungerade, so gibt es Anordnungen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} Punkten, zu denen es Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3\lfloor n/4 \rfloor} Geraden gibt, die genau zwei der Punkte enthalten.[13] Ben Green und Terence Tao konnten zeigen, dass diese Schranken zumindest für große Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} nicht verbessert werden können, es gibt also eine Konstante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_0} , sodass für jedes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n > n_0} gilt: Liegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} Punkte nicht auf einer Geraden, so gibt es mindestens Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n/2} (für gerade Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} ) bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3\lfloor n/4 \rfloor} (für ungerade Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} ) Geraden, die durch genau zwei der Punkte gehen.[14]

Literatur

Einzelnachweise

  1. ↑ Sylvester, Mathematical Question 11851, Educational Times, Band 59, 1893, S. 98.
  2. ↑ Gallai, Problem 4065, American Mathematical Monthly, Band 51, 1944, S. 169–171.
  3. ↑ Erdős, Problem 4065, American Mathematical Monthly, Band 50, 1943, S. 65.
  4. ↑ Eberhard Melchior: Über Vielseite der projektiven Ebene. In: Deutsche Mathematik, Band 5, 1940, S. 461–475. Als Adresse wurde in der Arbeit München angegeben. Dargestellt ist sein Beweis in S. Felsner: Geometric Graphs and Arrangements. Vieweg, 2004, S. 72 f.
  5. ↑ Veröffentlicht in H. S. M. Coxeter, A problem of collinear points, American Mathematical Monthly, Band 55, 1948, S. 26–28.
  6. ↑ a b Erdős, Solution to problem 4065, American Mathematical Monthly, Band 51, 1944, S. 169–171.
  7. ↑ Siehe Motzkin, The lines and planes connecting the points of a finite set, Trans. Amer. Math. Soc., Band 70, 1951, S. 451–464.
  8. ↑ Lang, The dual of a well known problem, Mathematical Gazette, Band 39, 1955, S. 314.
  9. ↑ Williams, A proof of Sylvester´s theorem on collinear points, American Mathematical Monthly, Band 75, 1968, S. 980–982.
  10. ↑ Melchior, Über Vielseite der Projektiven Ebene, Deutsche Mathematik, Band 5, 1940, S. 461–475. Dargestellt in S. Felsner Geometric Graphs and Arrangements, Vieweg 2004, S. 72f
  11. ↑ R. Steinberg, Three point collinearity, American Mathematical Monthly, Band 51, 1944, S. 169–171. Ein projektiver Beweis.
  12. ↑ G. A. Dirac: Collinearity Properties of Sets of Points. In: The Quarterly Journal of Mathematics. 1951, Vol. 2. S. 221–227. doi:10.1093/qmath/2.1.221, Th. Motzkin: The lines and planes connecting the points of a finite set. In: Transactions of the American Mathematical Society. 1951, Vol. 70. S. 451–464. doi:10.2307/1990609
  13. ↑ D. W. Crowe, T. A. McKee: Sylvester’s Problem on Collinear Points. In: Mathematics Magazine. 1968, Vol. 41, No. 1. S. 30–34. doi:10.2307/2687957
  14. ↑ Ben Green, Terence Tao: On Sets Defining Few Ordinary Lines. In: Discrete & Computational Geometry. 2013, Vol. 50, No. 2. S. 409–468. doi:10.1007/s00454-013-9518-9
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