arg max

Der Operator arg max (argumentum maximi, dt. Argument des Maximums) ist eine in der Analysis und Optimierung verwendete Funktion zur Berechnung der Stelle, an der eine Funktion ihr Maximum annimmt. Analog dazu wird der Operator arg min benutzt. Es handelt sich in beiden Fällen nicht um eine Funktion, sondern um eine "Programmanweisung".

Definition

Die normierte und nicht-normierte sinc Funktion haben Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{argmax}} 0, da ihr maximaler Wert 1 an der Stelle x = 0 angenommen wird.

Ist $D$ der Definitionsbereich einer Funktion $f$, dann ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \arg\max} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} die Stelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_\mathrm{max}} , an der die Funktion ihr Maximum annimmt, das heißt

$x_{\mathrm {max} }={\underset {x\in D}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)\Leftrightarrow f(x_{\mathrm {max} })=\max _{x\in D}f(x).$

Es geht also nicht um den Wert des Maximums selbst, sondern um einen Wert aus dem Definitionsbereich. Dieser Wert ist nicht wohldefiniert, falls die Funktion ihr Maximum an mehreren Stellen annimmt oder kein Maximum hat.

Beispiel

Die Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=x(10-x)} besitzt den maximalen Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 25} , der an der Stelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_\mathrm{max}=5} angenommen wird. Daher gilt

${\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}(x(10-x))=5.$

Alternative Definition

Um Wohldefiniertheit zu erreichen, wird Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \arg\max} alternativ auch als mengenwertige Funktion erklärt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underset{x \in D}{\operatorname{arg\,max}}\, f(x) := \{x \in D\ |\ f(x)\text{ maximal}\} = \{x \in D\ |\ \forall y \in D \ f(y) \le f(x)\} = f^{-1}\left( \max_{x \in D} f(x) \right)}

Analog dazu wird

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underset{x \in D}{\operatorname{arg\,min}}\, f(x) := \{x \in D\ |\ f(x)\text{ minimal}\} = \{x \in D\ |\ \forall y \in D \ f(y) \ge f(x)\} = f^{-1}\left(\min_{x \in D} f(x) \right)}

definiert.

Beispiel

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underset{x \in [0,4\pi]}{\operatorname{arg\,max}}\, \cos(x) = \{0,2\pi,4\pi\}.}

Literatur

• Peter Gritzmann Grundlagen der Mathematischen Optimierung, Springer, 2013, ISBN 978-3-528-07290-2, Seite 3.