Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen

${\sqrt[{n}]{x}}$

Dieser Artikel ist eine Formelsammlung zum Thema Ableitungs- und Stammfunktionen. Es werden mathematische Symbole verwendet, die im Artikel Liste mathematischer Symbole erläutert werden.

Diese Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen (Integraltafel) gibt eine Übersicht über Ableitungsfunktionen und Stammfunktionen, die in der Differential- und Integralrechnung benötigt werden.

Tabelle einfacher Ableitungs- und Stammfunktionen (Grundintegrale)

Diese Tabelle ist zweispaltig aufgebaut. In der linken Spalte steht eine Funktion, in der rechten Spalte eine Stammfunktion dieser Funktion. Die Funktion in der linken Spalte ist somit die Ableitung der Funktion in der rechten Spalte.

Hinweise:

• Wenn $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist und $C$ eine beliebige reelle Zahl (Konstante), dann ist auch $F(x)+C$ eine Stammfunktion von $f$. Zum Beispiel ist auch $F(x)={\tfrac {1}{2}}x^{2}+5$ eine Stammfunktion von $f(x)=x$. Ist der Definitionsbereich von $f$ ein Intervall, so erhält man auf diese Art alle Stammfunktionen. Besteht der Definitionsbereich von $f$ aus mehreren Intervallen, so kann die additive Konstante auf jedem der Intervalle getrennt gewählt werden. Die additive Konstante $C$ wird aus Gründen der Übersichtlichkeit in der Tabelle nicht aufgeführt.
• Weiterhin gilt: Falls $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$ ist, so ist aufgrund der Linearität des Integrals $a\cdot F(x)$ eine Stammfunktion von $a\cdot f(x)$.
• Ebenso gilt: Sind $F(x)$ und $G(x)$ Stammfunktionen von $f(x)$ und $g(x)$, so ist $F(x)+G(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)+g(x)$.

Potenz- und Wurzelfunktionen

Funktion $f(x)$	Stammfunktion $F(x)$
$0$	$0$
$k\quad (k\in \mathbb {R} )$	$kx$
$x^{n}$	${\begin{cases}{\frac {1}{n+1}}x^{n+1},&{\text{wenn }}n\neq -1,\\\ln |x|,&{\text{wenn }}n=-1.\end{cases}}$
$nx^{n-1}$	$x^{n}$
$x$	${\tfrac {1}{2}}x^{2}$
$2x$	$x^{2}$
$x^{2}$	${\tfrac {1}{3}}x^{3}$
$3x^{2}$	$x^{3}$
${\sqrt {x}}$	${\tfrac {2}{3}}x^{\tfrac {3}{2}}$
${\sqrt[{n}]{x}}$	${\frac {n}{n+1}}({\sqrt[{n}]{x}})^{n+1}\quad (n\neq -1)$
${\frac {1}{\sqrt {x}}}$	$2{\sqrt {x}}$
${\frac {1}{n({\sqrt[{n}]{x^{n-1}}})}}$	${\sqrt[{n}]{x}}$
$-{\frac {2}{x^{3}}}$	${\frac {1}{x^{2}}}$
$-{\frac {1}{x^{2}}}$	${\frac {1}{x}}$

Exponential- und Logarithmusfunktionen

Funktion $f(x)$	Stammfunktion $F(x)$
$\mathrm {e} ^{x}$	$\mathrm {e} ^{x}$
$\mathrm {e} ^{kx}$	${\frac {1}{k}}\mathrm {e} ^{kx}$
$a^{x}\ln a\quad (a>0)$	$a^{x}$
$a^{x}$	${\frac {a^{x}}{\ln a}}$
$x^{x}(1+\ln(x))$	$x^{x}\quad (x>0)$
$\mathrm {e} ^{x\ln \left|x\right|}(\ln \left|x\right|+1)$	$\left|x\right|^{x}=\mathrm {e} ^{x\ln \left|x\right|}\quad (x\neq 0)$
${\frac {1}{x}}$	$\ln \left|x\right|$
$\ln x$	$x\ln(x)-x$
$x^{n}\ln x$	${\frac {x^{n+1}}{n+1}}\left(\ln x-{\frac {1}{n+1}}\right)\quad (n\geq 0)$
$u'(x)\ln u(x)$	$u(x)\ln u(x)-u(x)$
${\frac {1}{x}}\ln ^{n}x\quad (n\neq -1)$	${\frac {1}{n+1}}\ln ^{n+1}x$
${\frac {1}{x}}\ln {x^{n}}\quad (n\neq 0)$	${\frac {1}{2n}}\ln ^{2}{x^{n}}={\frac {n}{2}}\ln ^{2}x$
${\frac {1}{x}}{\frac {1}{\ln a}}$	$\log _{a}x$
${\frac {1}{x\ln x}}$	$\ln \left|\ln x\right|\quad (x>0,x\neq 1)$
$\log _{a}x$	${\frac {1}{\ln a}}(x\ln x-x)$
${\sqrt {a^{2}-x^{2}}}$	${\frac {a^{2}}{2}}\arcsin \left({\frac {x}{a}}\right)+{\frac {x}{2}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}$
${\sqrt {a^{2}+x^{2}}}$	${\frac {a^{2}}{2}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {x}{a}}\right)+{\frac {x}{2}}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}$

Anmerkung:

Trigonometrische Funktionen und Hyperbelfunktionen

Funktion $f(x)$	Stammfunktion $F(x)$
$\sin x$	$-\cos x$
$\cos x$	$\sin x$
$\sin ^{2}x$	${\tfrac {1}{2}}(x-\sin x\cdot \cos x)$
$\cos ^{2}x$	${\tfrac {1}{2}}(x+\sin x\cdot \cos x)$
$\sin(kx)\cdot \cos(kx)$	$-{\frac {1}{4k}}\cos(2kx)$
$\sin(kx)\cdot \cos(kx)$	${\frac {1}{2k}}\sin ^{2}(kx)$
$\tan x$	$-\ln |{\cos x}|$
$\cot x$	$\ln |{\sin x}|$
${\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x$	$\tan x$
${\frac {-1}{\sin ^{2}x}}=-(1+\cot ^{2}x)$	$\cot x$
$\arcsin x$	$x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}$
$\arccos x$	$x\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}$
$\arctan x$	$x\arctan x-{\tfrac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)$
$\operatorname {arccot} x$	$x\operatorname {arccot} x+{\tfrac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)$
${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$	$\arcsin x$
${\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$	$\arccos x$
${\frac {1}{x^{2}+1}}$	$\arctan x$
${\frac {x^{2}}{x^{2}+1}}$	$x-\arctan x$
${\frac {1}{(x^{2}+1)^{2}}}$	${\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{x^{2}+1}}+\arctan x\right)$
$\sinh x$	$\cosh x$
$\cosh x$	$\sinh x$
$\tanh x$	$\ln \cosh x$
$\coth x$	$\ln |{\sinh x}|$
${\frac {1}{\cosh ^{2}x}}=1-\tanh ^{2}x$	$\tanh x$
${\frac {-1}{\sinh ^{2}x}}=1-\coth ^{2}x$	$\coth x$
$\operatorname {arsinh} x$	$x\operatorname {arsinh} x-{\sqrt {x^{2}+1}}$
$\operatorname {arcosh} x$	$x\operatorname {arcosh} x-{\sqrt {x^{2}-1}}$
$\operatorname {artanh} x$	$x\operatorname {artanh} x+{\frac {1}{2}}\ln {\left(1-x^{2}\right)}$
$\operatorname {arcoth} x$	$x\operatorname {arcoth} x+{\frac {1}{2}}\ln {\left(x^{2}-1\right)}$
${\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}$	$\operatorname {arsinh} x$
${\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\quad (x>1)$	$\operatorname {arcosh} x$
${\frac {1}{1-x^{2}}}\quad (\left|x\right|<1)$	$\operatorname {artanh} x$
${\frac {1}{1-x^{2}}}\quad (\left|x\right|>1)$	$\operatorname {arcoth} x$

Elliptische Funktionen und elliptische Integrale

Funktion $f(x)$	Stammfunktion $F(x)$
$\operatorname {sl} (x)$	$-\arctan[\operatorname {cl} (x)]$
$\operatorname {cl} (x)$	$\arctan[\operatorname {sl} (x)]$
$\operatorname {sn} (x;k)$	$-{\frac {1}{k}}\operatorname {artanh} [k\,\operatorname {cd} (x;k)]$
$\operatorname {cn} (x;k)$	${\frac {1}{k}}\operatorname {arcsin} [k\,\operatorname {sn} (x;k)]$
$\operatorname {dn} (x;k)$	$\operatorname {am} (x;k)$
${\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}$	$\operatorname {arcsl} (x)$
${\frac {1}{\sqrt {x^{4}+1}}}$	${\sqrt {2}}\,\operatorname {arcsl} \left[x({\sqrt {x^{4}+1}}+1)^{-1/2}\right]$
${\frac {1}{\sqrt {x^{6}+1}}}$	${\frac {1}{6}}{\sqrt[{4}]{27}}F\left[2\arctan \left({\frac {{\sqrt[{4}]{3}}x}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right);\cos \left({\frac {\pi }{12}}\right)\right]$
${\frac {1-x^{2}}{\sqrt {x^{8}+1}}}$	${\frac {1}{2}}\sec \left({\frac {\pi }{8}}\right)F\left\{\arcsin \left[{\frac {2\cos(\pi /8)x}{x^{2}+1}}\right];\tan \left({\frac {\pi }{8}}\right)\right\}$
${\frac {x^{2}+1}{\sqrt {x^{8}+1}}}$	${\frac {1}{2}}\sec \left({\frac {\pi }{8}}\right)F\left\{2\arctan \left[{\frac {2\cos(\pi /8)x}{{\sqrt {x^{4}+{\sqrt {2}}x^{2}+1}}-x^{2}+1}}\right];2{\sqrt[{4}]{2}}\sin \left({\frac {\pi }{8}}\right)\right\}$
${\frac {1}{\sqrt[{4}]{(ax^{2}+bx+c)^{3}}}}$	${\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt[{4}]{4a^{2}c-ab^{2}}}}\operatorname {arcsl} \left[{\frac {2ax+b}{{\sqrt {4a(ax^{2}+bx+c)}}+{\sqrt {4ac-b^{2}}}}}\right]$
${\frac {1}{x(1-x^{2})}}[E(x)-(1-x^{2})K(x)]$	$K(x)$
${\frac {1}{x}}[E(x)-K(x)]$	$E(x)$
$K(x)$	$\int _{0}^{1}{\frac {\arcsin(xy)}{y{\sqrt {1-y^{2}}}}}\mathrm {d} y$
$E(x)$	$\int _{0}^{1}\left[{\frac {\arcsin(xy)}{2y{\sqrt {1-y^{2}}}}}+{\frac {x{\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}}{2{\sqrt {1-y^{2}}}}}\right]\mathrm {d} y$
${\frac {\pi ^{2}q(x)}{2x(1-x^{2})K(x)^{2}}}$	$q(x)$
${\frac {1}{2\pi x}}\vartheta _{10}(x)\vartheta _{00}(x)^{2}E\left[{\frac {\vartheta _{10}(x)^{2}}{\vartheta _{00}(x)^{2}}}\right]$	$\vartheta _{10}(x)$
$\vartheta _{00}(x)[\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}]\times$ $\times \left\{{\frac {1}{2\pi x}}E\left[{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}-\vartheta _{01}(x)^{2}}{\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}}}\right]-{\frac {\vartheta _{01}(x)^{2}}{4x}}\right\}$	$\vartheta _{00}(x)$
$-\vartheta _{01}(x)[\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}]\times$ $\times \left\{{\frac {1}{2\pi x}}E\left[{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}-\vartheta _{01}(x)^{2}}{\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}}}\right]-{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}}{4x}}\right\}$	$\vartheta _{01}(x)$

Sonstige

Funktion $f(x)$	Stammfunktion $F(x)$
$\mathrm {e} ^{-x^{2}}$	${\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\operatorname {erf} x$
$\mathrm {e} ^{-ax^{2}+bx+c}$	${\frac {\sqrt {\pi }}{2{\sqrt {a}}}}\mathrm {e} ^{{\frac {b^{2}}{4a}}+c}\operatorname {erf} \left({\sqrt {a}}x-{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)$
${\frac {u'(x)}{u(x)}}$	$\ln \left|u(x)\right|$
$u'(x)\cdot u(x)$	${\tfrac {1}{2}}(u(x))^{2}$
$u'(x)\cdot (u(x))^{n}$	${\frac {1}{n+1}}(u(x))^{n+1}$

Anmerkung:

Rekursionsformeln für weitere Stammfunktionen

• $\int {\frac {1}{(x^{2}+1)^{n}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2n-2}}\cdot {\frac {x}{(x^{2}+1)^{n-1}}}+{\frac {2n-3}{2n-2}}\cdot \int {\frac {1}{(x^{2}+1)^{n-1}}}\,\mathrm {d} x,\quad n\geq 2$
• $\int \sin ^{n}(x)\,\mathrm {d} x={\frac {n-1}{n}}\cdot \int \sin ^{n-2}(x)\,\mathrm {d} x-{\frac {1}{n}}\cdot \cos(x)\cdot \sin ^{n-1}(x),\quad n\geq 2$
• $\int \cos ^{n}(x)\,\mathrm {d} x={\frac {n-1}{n}}\cdot \int \cos ^{n-2}(x)\,\mathrm {d} x+{\frac {1}{n}}\cdot \sin(x)\cdot \cos ^{n-1}(x),\quad n\geq 2$

Weblinks

Wikibooks: unbestimmte Integrale in der Formelsammlung Mathematik – Lern- und Lehrmaterialien

Wikibooks: bestimmte Integrale in der Formelsammlung Mathematik – Lern- und Lehrmaterialien

• Online-Tool zum Lösen von Integralen
• Online-Integralrechner von WolframAlpha