Verteilungsklasse

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Als Verteilungsklasse oder Verteilungsfamilie (auch Klasse von Verteilungen oder Familie von Verteilungen) wird in der Stochastik und der Statistik eine Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen verstanden, die sich durch eine gemeinsame, mehr oder weniger abstrakte Eigenschaft auszeichnen. Die Einschränkung auf solche Eigenschaften ermöglicht es häufig, mit der zusätzlich verfügbaren Struktur stärkere Aussagen zu zeigen. Ein Beispiel hierfür ist die Cramér-Rao-Ungleichung; bei ihr liefert die Einschränkung auf die Exponentialfamilie eine scharfe Abschätzung.

Begriff

Der Begriff der Verteilungsklasse bzw. Verteilungsfamilie/Familie von Verteilungen wird in der Literatur nicht einheitlich oder in unterschiedlicher Ausprägung verwendet.

Dabei ist die erste Bedeutung sehr weit gefasst, die zweite sehr eng. Meist wird die dritte Bedeutung verwendet.

Wichtige Verteilungsklassen

Folgend sind einige wichtige Verteilungsklassen aufgezählt und beschrieben. Dabei sind die Definitionen mancher Verteilungsklassen rein wahrscheinlichkeitstheoretisch motiviert, andere werden überwiegend in der mathematischen Statistik angewandt. Ebenso gibt es Verteilungsklassen, die in beiden Themengebieten Anwendung finden.

Des Weiteren gibt es beispielsweise noch alpha-stabile Verteilungen oder unendlich teilbare Verteilungen.

Literatur

  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.*Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, doi:10.1007/978-3-642-21026-6.
  • Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.
  • Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-642-45387-8.
  • Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.

Einzelnachweise

  1. Schmidt: Maß- und Wahrscheinlichkeit. 2011, S. 455.
  2. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 300.
  3. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 143.
  4. Czado, Schmidt: Mathematische Statistik. 2011, S. 53.
  5. Rüschendorf: Mathematische Statistik. 2014, S. 59.