Kern (Spieltheorie)

Als Kern (teilweise auch direkt aus dem Englischen: Core) bezeichnet man in der kooperativen Spieltheorie ein Konzept zur Lösung eines kooperativen Spiels. „Im“ Kern befinden sich all diejenigen Zuteilungen von Gütern an die Spieler, die koalitionsrational sind, das heißt, die keinem Spieler einen Anreiz geben, sich mit anderen Spielern zusammenzutun, sondern und nur die Interessen der Koalition zu verfolgen. Dies deshalb, weil im Kern der Gesamtwert einer jeden Koalition niemals größer ist als der Teil der Zuteilung, den die Koalitionsmitglieder ohne einen Zusammenschluss erhalten würden.

Eine bedeutsame Anwendung des Konzepts findet sich im Bereich der Mikroökonomik in der Theorie des allgemeinen Gleichgewichts.

Definition

Kooperative Spiele mit transferierbarem Nutzen lassen sich durch die Menge der Spieler und eine Koalitionsfunktion vollständig beschreiben. Eine Koalitionsfunktion ist eine (reellwertige) Funktion, die für jede mögliche Kombination von Spielern – man spricht von „Koalitionen“ – den Wert dieser Koalition liefert. Dies ähnelt dem Konzept der Nutzenfunktion; die Koalitionsfunktion gibt für jede Koalition den (Gesamt)wert dieser Koalition an, was zugleich die weitere Annahme impliziert, dass der Wert einer Koalition nicht vom Verhalten solcher Spieler abhängig ist, die kein Mitglied der Koalition sind. Der Wert des Spiels für jeden einzelnen der $n$ Spieler (im Folgenden: Payoff) wird durch einen n-Vektor (Zustand) beschrieben, den man – insbesondere mit Blick auf ökonomische Anwendungen – auch als Allokation bezeichnet.

Definition: Sei $(N,v)$ ein kooperatives Spiel mit transferierbarem Nutzen, wobei $N=\{1,\ldots ,n\}$ die Menge der Spieler bezeichnet und ${\textstyle v:2^{N}\rightarrow \mathbb {R} }$ die Koalitionsfunktion, $v(\emptyset )=0$. Eine Allokation $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})$ ist eine Zuteilung (englisch imputation), wenn gilt:

1. $\sum _{i\in N}x_{i}=v(N)$ und
2. $x_{i}\geq v(\{i\})$ für alle $i\in N$.

Eine Zuteilung ist eine Kernallokation, wenn

3. $\sum _{i\in S}x_{i}\geq v(S)$ für alle Koalitionen $S\subseteq N$.

Die Menge aller Kernallokationen von $(N,v)$ bezeichnet man als Kern des Spiels, ${\mathcal {C}}(N,v)$. Kurzum:

${\mathcal {C}}(N,v):=\left\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\left|\sum _{i\in N}x_{i}=v(N)\quad {\text{und}}\quad \sum _{i\in S}x_{i}\geq v(S)\mathrm {,} \;\forall S\subseteq N\right.\right\}$

Bedingung (1) (Effizienzbedingung, auch: Pareto-Optimalitäts-Bedingung oder Erfordernis kollektiver Rationalität) besagt, dass, wenn sich alle Spieler zu einer einzigen großen Koalition zusammenschließen, ihr aggregierter Payoff dem Wert der Koalition entspricht. Um einzusehen, warum diese Annahme vernünftig ist, kann zunächst festgehalten werden, dass der aggregierte Payoff der Koalitionsmitglieder jedenfalls niemals über dem Wert der Koalition liegen kann. Er könnte nur darunter liegen. Dies aber wäre offensichtlich ineffizient; der nicht zugeteilte Anteil des Koalitionswertes könnte verteilt und damit wenigstens ein Koalitionsmitglied strikt bessergestellt werden, ohne zugleich ein anderes Koalitionsmitglied schlechterzustellen. Die Bedingung (2) formalisiert das Erfordernis individueller Rationalität. Sie schließt Allokationen aus, in denen ein Spieler weniger erzielt, als wenn er der Koalition fernbleibt und alleine spielt. Dies liegt intuitiv nahe: Damit sich ein Einzelner an einer Koalition beteiligt, wird ihm diese zumindest einen schwachen Payoff-Anreiz bieten müssen.

Spezifische Voraussetzung für eine Kernallokation ist Bedingung (3), die koalitionsrationale Payoff-Konfigurationen fordert. Sie besagt, dass in jeder erdenklichen Koalition der Gesamtbetrag, den die Mitglieder gemäß der Zuteilung erhalten, mindestens so hoch wie der Wert der Koalition ist. Offensichtlich impliziert (3) auch (2), aber nicht umgekehrt. Es ist ${\mathcal {C}}(N,v)\subseteq {\mathcal {I}}(N,v)$, wobei ${\mathcal {I}}(N,v)$ die Menge der Zuteilungen von $(N,v)$ ist.

Beispiel

Koalitionsfunktion des (Bei-)Spiels

${\displaystyle S}$	${\displaystyle \emptyset }$	${\displaystyle \{A\}}$	${\displaystyle \{B\}}$	${\displaystyle \{C\}}$	${\displaystyle \{A,B\}}$	${\displaystyle \{A,C\}}$	${\displaystyle \{B,C\}}$	${\displaystyle \{A,B,C\}}$
${\displaystyle v(S)}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 200}$	${\displaystyle 200}$	${\displaystyle 200}$	${\displaystyle 700}$	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\displaystyle 500}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\displaystyle 500}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\displaystyle 1200}}

Die folgenden Ungleichungen beschreiben den Kern des (Bei-)Spiels:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rccl} \displaystyle x_{A},x_{B},x_{C} &\geq&200& &\text{individuelle Rationalität}\\ x_{A}+x_{B}+x_{C} &=&1200& &\text{kollektive Rationalität}\\ x_{A}+x_{B} &\geq&700&\\ x_{A}+x_{C} &\geq&500&\\ x_{B}+x_{C} &\geq&500&\\ \end{array}}

Die letzten drei Bedingungen (Nicht-Blockierbarkeit) können zusammengefasst werden zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rcc} \displaystyle &2\cdot(x_{A}+x_{B}+x_{C}) &\geq&1700&\\ \Leftrightarrow &x_{A}+x_{B}+x_{C} &\geq&850& \\ \end{array}} .

Anhand dieses (Bei-)Spiels wird ersichtlich, dass der Kern durch eine Menge an möglichen Auszahlungsvektoren beschrieben wird.

Eigenschaften

Vereinbarungen

Vorangestellt seien drei definitorische bzw. notationelle Standardvereinbarungen:

• Die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{G}^{N}} ist die Menge der Koalitionsfunktionen für kooperative Spiele mit transferierbarem Nutzen und der Spielermenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N} .
• Für eine Koalition Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} ist der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^{S}} definiert als der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |S|} -dimensionale euklidische Raum, der durch die an Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} partizipierenden Spieler aufgespannt wird.
• Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X\subseteq\mathbb{R}^{N}} eine Menge, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} ein Skalar und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \boldsymbol{\beta}\in\mathbb{R}^{N}} . Dann ist die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha X} definiert durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha X:=\{\alpha \mathbf{x}|\mathbf{x}\in X\}} und die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X+\boldsymbol{\beta}} durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X+\boldsymbol{\beta}:=\{\mathbf{x}+\boldsymbol{\beta}|\mathbf{x}\in X\}} .

Grundlegende Beschaffenheit

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \mathcal{C}(N,v)} der Kern eines Spiels Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle (N,v)} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle v\in \mathcal{G}^{N}} .

a) Der Kern ist konvex und kompakt.

b) Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \mathcal{C}(N,w)} der Kern eines von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle (N,v)} verschiedenen Spiels Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle (N,w)} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle w\in \mathcal{G}^{N}} , das zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle (N,v)} strategisch äquivalent ist. Dann geht der Kern wie folgt aus dem Kern des anderen Spiels hervor:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{C}(N,w)=\alpha\mathcal{C}(N,v)+\boldsymbol{\beta}}

mit geeignetem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \alpha, \boldsymbol{\beta}} .

c) Kernlösungen sind anonym, symmetrisch, Pareto-optimal und superadditiv.

Die Eigenschaft (a) folgt bereits aus der Definition über schwache Ungleichungen. Die Bedeutung von (b) ergibt sich aus der Anwendung strategisch äquivalenter Spiele. Formal bezeichnet man zwei Spiele Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle (N,v)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle (N,w)} als strategisch äquivalent, wenn es eine Konstante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha>0} und einen Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \boldsymbol{\beta}\in\mathbb{R}^{N}} gibt, sodass für jede Koalition Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle S\subseteq2^{N}\backslash\{\emptyset\}} gilt, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle w(S)=\alpha v(S)+\sum_{i\in S}\beta_{i}} , das heißt, die Koalitionsfunktion des einen Spiels durch positive affine Transformation aus der Koalitionsfunktion des anderen Spiels hervorgeht. Man kann sich vorstellen, dass sich strategisch äquivalente Spiele nur dadurch unterscheiden, dass jeder Spieler unabhängig vom Spielergebnis einen fixen Betrag erhält (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \beta_{i}>0} ) bzw. fixe Kosten hat (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \beta_{i}<0} ) und dass sich die Einheit ändert, in der der Payoff ausbezahlt wird (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \alpha=0{,}01} könnte beispielsweise den Übergang von Cent zu Euro widerspiegeln). Beim Übergang von einem Spiel zu einem strategisch äquivalenten Spiel ändert sich der Kern, so die Aussage des Satzes (b), also gewissermaßen im Gleichschritt mit den Änderungen der Koalitionsfunktion.

Existenz

Satz von Bondareva und Shapley (Bondareva 1963, Shapley 1967): Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (N,v)} ein kooperatives Spiel, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle v\in\mathcal{G}^{N}} . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

1. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{C}(N,v)} ist nichtleer.
2. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (N,v)} ist ein ausgewogenes (balanciertes) Spiel, das heißt für jedes ausgewogene (balancierte) Mengensystem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{S_{1},\ldots,S_{k}\}\subseteq 2^N \setminus \emptyset} von Koalitionen aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N} mit den zugehörigen Gewichtungsfaktoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_{1},\ldots,\lambda_{k}} gilt die Ungleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{j=1}^{k}\lambda_{j}v(S_{j})\leq v(N)} .

Das von Olga Bondareva und Lloyd Shapley unabhängig voneinander bewiesene Theorem baut maßgeblich auf dem Konzept der Ausgewogenheit (Balanciertheit) eines Mengensystems (also einer Menge von Mengen, die jeweils Teilmengen ein und derselben Grundmenge – hier: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N} – sind) auf. Ein solches Mengensystem von Koalitionen, welches auch Koalitionsfamilie genannt wird, (hier: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{S_{1},\ldots,S_{k}\}\subseteq 2^N \setminus \emptyset} ) bezeichnet man als ausgewogen, wenn es strikt positive Gewichtungsfaktoren (hier: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_{1},\ldots,\lambda_{k}} ) gibt, sodass für jeden Spieler Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i\in N} gilt, dass

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{j=1,\ldots,k:i\in S_{j}}\lambda_{j}=1} ,

das heißt: Ein Mengensystem von Koalitionen ist dann ausgewogen, wenn für jeden Spieler gilt, dass sich die Gewichtungsfaktoren sämtlicher Koalitionen des Mengensystems, denen er selbst angehört, zu eins aufsummieren. Eine Interpretationsmöglichkeit hierfür besteht darin, sich die Gewichtungsfaktoren als Anteile am verfügbaren Zeitbudget vorzustellen; Wiese (2005) bezeichnet sie deshalb etwa auch als „Teilzeitfaktoren“. Man nehme an, dass jeder Spieler seine Zeit auf verschiedene Koalitionen aufteilen kann. Das Mengensystem ist in dieser Vorstellung gerade dann ausgewogen, wenn kein Spieler „Zeit verschenkt“ (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \sum_{j=1,\ldots,k:i\in S_{j}}\lambda_{j}<1} ) oder mehr Zeit aufwendet, als ihm zur Verfügung steht (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \sum_{j=1,\ldots,k:i\in S_{j}}\lambda_{j}>1} ), sondern sein gesamtes Zeitbudget auf die Koalitionen des Mengensystems aufteilt, denen er angehört. Es handelt sich mithin um eine Art Budgetrestriktion für das Zeitbudget. Damit nun eine Koalition Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_{j}} für einen Zeitanteil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_{j}} aktiv ist, müssen alle Mitglieder von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_{j}} aktiv sein. Sind sie dies, so rentiert die Koalition einen Payoff (Auszahlung) in Höhe von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_{j}v(S_{j})} . Ein Spiel ist, mit anderen Worten, also gerade dann ausgewogen, dass die Spieler über keine alternative zulässige Zeitaufteilung verfügen, die ihnen einen höheren Gesamtpayoff als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v(N)} einbringen würde.

Darüber hinaus beschreibt eine minimal balancierte Koalitionsfamilie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{B_{min}}} eine balancierte Koalitionsfamilie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{B}:=\{S_{1},\ldots,S_{k}\}\subseteq 2^N \setminus \emptyset} , in der keine echte Teilmenge balanciert ist. Eine minimal balancierte Koalitionsfamilie hat eindeutig bestimmte Gewichtungsfaktoren. Analog zum balancierten Spiel nennt man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (N,v)} ein minimal balancierte Spiel, sofern für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{B_{min}}:=\{M_{1},\ldots,M_{l}\}\subseteq 2^N \setminus \emptyset} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{j=1}^{l}\lambda_{j}v(M_{j})\leq v(N)} erfüllt ist.

Theorie des allgemeinen Gleichgewichts

Grundlagen

Betrachtet sei eine Ökonomie mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle n} Gütern, in der es keinerlei Externalitäten gibt. Die Preise für diese Güter werden in einem Preisvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \mathbf{p}=(p_{1},\ldots,p_{n})} zusammengefasst, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \mathbf{p}\neq\mathbf{0}} . In der Ökonomie gebe es weiter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle I} Konsumenten und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle J} Firmen, wobei für diese beiden Gruppen entsprechend die Indexmengen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \mathcal{I}=\{1,\ldots,I\}} (die Menge aller Konsumenten) bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \mathcal{J}=\{1,\ldots,J\}} (die Menge aller Produzenten) definiert werden. Produzenten wie Konsumenten sind jeweils Preisnehmer. Betrachtet werden nun nacheinander Konsumenten und Produzenten, danach die anfängliche Ausstattung der Ökonomie:

• Das Konsumprofil einer Person Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle i\in\mathcal{I}} ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \mathbf{x}^{i}=(x_{1}^{i},\ldots,x_{n}^{i})\in\mathbb{R}^{n}_{+}} – es gibt Auskunft, welche Menge Person Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle i} von jedem der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle n} Güter konsumiert. Die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle X_{i}\subset\mathbb{R}^{n}_{+}} erfasst alle möglichen Konsumprofile von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle i} (Konsummöglichkeitenmenge von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle i} ). Die Präferenzstruktur eines jeden Individuums Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle i\in\mathcal{I}} findet wiederum in seiner Nutzenfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle u^{i}=u^{i}(\mathbf{x}^{i})\in\mathbb{R}} Ausdruck.
• Die Produktion eines jeden Unternehmens Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle j\in\mathcal{J}} ist durch den Produktionsvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \mathbf{y}^{j}=(y_{1}^{j},\ldots,y_{n}^{j})\in\mathbb{R}^{n}} gegeben; er gibt an, wie viel Unternehmen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle j} von jedem der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle n} Güter produziert. Durch technologische Beschränkungen sind allerdings nur solche Produktionspläne möglich, die in einer Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle Y_{j}\subset\mathbb{R}^J} enthalten sind (Produktionsmöglichkeitenmenge von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle j} ).
• Die anfänglichen Bestände an den jeweiligen Gütern sind durch einen Ausstattungsvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \mathbf{e}=(e_{1},\ldots,e_{n})\in\mathbb{R}^{n}_{+}} gegeben.

Mit den vereinbarten Definitionen hinsichtlich der Präferenzstruktur der Individuen, der technologischen Kapazitäten der Produzenten und der Ressourcenbestände lässt sich eine Ökonomie durch das Tupel

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{\mathcal{E}}=\left[\left(X_{i},u^{i}\right)_{i\in\mathcal{I}},\left(Y_{j}\right)_{j\in\mathcal{J}},\mathbf{e}\right]}

charakterisieren. In einer Wettbewerbsökonomie stehen sowohl die Anfangsausstattung als auch die Unternehmen im Eigentum der Konsumenten. Man vereinbart entsprechend Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \mathbf{e}^{i}=(e_{1}^{i},\ldots,e_{n}^{i})\in\mathbb{R}^{n}_{+}} als die Ausstattung einer Person Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle i\in\mathcal{I}} (bezüglich aller Güter). Der von Konsument Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle i} gehaltene Anteil an den Gewinnen eines jeden Unternehmens betrage Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \boldsymbol{\theta}^{i}=(\theta^{i}_{1},\ldots,\theta^{i}_{J})\in\mathbb{R}^{J}} . Entsprechend den Voraussetzungen ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \mathbf{e}=\sum_{i\in\mathcal{I}}\mathbf{e}^{i}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \sum_{i\in\mathcal{I}}\boldsymbol{\theta}^{i}=\mathbf{1}} .

Betrachte man eine Wettbewerbsökonomie. Dann bezeichnet man ein Tupel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \left[\left(\mathbf{x}^{i*}\right)_{i\in\mathcal{I}},\left(\mathbf{y}^{j*}\right)_{j\in\mathcal{J}},\mathbf{p}^{*}\right]} als Walrasianisches Gleichgewicht dieser Ökonomie, wenn gilt:

1. (Gewinnmaximierung:) Jedes Unternehmen maximiert, gegeben die gleichgewichtigen Marktpreise, seinen Gewinn, das heißt für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j\in\mathcal{J}} gilt: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{p}^{*}\cdot\mathbf{y}^{j}\leq\mathbf{p}^{*}\cdot\mathbf{y}^{j*}} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{y}^{j}} .
2. (Nutzenmaximierung:) Jeder Konsument maximiert seinen Nutzen, das heißt für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle i\in\mathcal{I}} gilt, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \mathbf{x}^{i*}} die Nutzenfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle u^{i}(\mathbf{x}^{i})} unter Wahrung der Budgetbedingung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \mathbf{p}^{*}\cdot\mathbf{x}^{i}\leq\mathbf{p}^{*}\cdot\mathbf{e}^{i}+\sum_{j=1}^{J}\theta_{j}^{i}(\mathbf{p}^{*}\cdot\mathbf{y}^{j*})} maximiert.
3. (Markträumung:) Für jedes Gut Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle k} gilt: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \sum_{i=1}^{I}x_{k}^{i*}=e_{k}+\sum_{j=1}^{J}y_{k}^{j*}} .

Betrachtet man statt einer Wettbewerbsökonomie eine reine Tauschwirtschaft (in der es keine Produktion gibt, sondern nur durch Tausch die Anfangsausstattung umverteilt wird), so liegt dort ein Walrasianisches Gleichgewicht vor, wenn gilt:

1. (Nutzenmaximierung:) Jeder Konsument maximiert seinen Nutzen, das heißt für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle i\in\mathcal{I}} gilt, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \mathbf{x}^{i*}} die Nutzenfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle u^{i}(\mathbf{x}^{i})} unter Wahrung der Budgetbedingung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \mathbf{p}^{*}\cdot\mathbf{x}^{i}\leq\mathbf{p}^{*}\cdot\mathbf{e}^{i}} maximiert.
2. (Markträumung:) Für jedes Gut Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle k} gilt: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \sum_{i=1}^{I}x_{k}^{i*}=e_{k}}

Kern einer Ökonomie

Das spieltheoretische Konzept des Kerns lässt sich in der Theorie des allgemeinen Gleichgewichts anwenden. Eine gegebene (Konsum)allokation ist blockierbar, wenn es eine Koalition von Konsumenten gibt, die eine Alternativallokation erzwingen kann, durch welche – im Vergleich zur Ausgangsallokation – kein Koalitionsmitglied schlechtergestellt und mindestens eines strikt bessergestellt wird. Die Menge aller nicht-blockierbaren (Konsum)allokationen bezeichnet man als Kern der Ökonomie. Kernallokationen sind also Allokationen mit der Eigenschaft, dass sich keine Gruppe von Konsumenten von der Ökonomie profitabel „abspalten“ kann, um fortan nur noch unter sich Handel zu treiben.

Formal: Sei im einfachsten Fall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \mathbf{\mathcal{E}}} eine reine Tauschwirtschaft. Dann ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \left(\mathbf{x}^{i}\right)_{i\in\mathcal{I}}} eine Allokation, die man wiederum als zulässig (in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \mathbf{\mathcal{E}}} ) bezeichnet, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \sum_{i\in\mathcal{I}}\mathbf{x}^{i}\leq\mathbf{e}} . Sei weiter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle S\subseteq\mathcal{I}} eine beliebige Koalition. Definiere nun Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle X^{S}} als die Menge aller koalitionsinternen Konsumprofile mit der Eigenschaft, dass die Koalitionsmitglieder von keinem Gut mehr konsumieren als sie insgesamt als Ausstattung in die Koalition eingebracht haben:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X^{S}:=\left\{ \left.\left(\mathbf{x}^{s}\right)_{s\in S}\in\left(\mathbb{R}_{+}^{n}\right)^{|S|}\right|\sum_{s\in S}\mathbf{x}^{s}\leq\sum_{s\in S}\mathbf{e}^{s}\right\} }

Definition: Der Kern einer Ökonomie ist die Menge aller Allokationen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \left(\mathbf{x}^{i}\right)_{i\in\mathcal{I}}} , für die keine Koalition Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle S\subseteq\mathcal{I}} mit einer zugehörigen koalitionsinternen Allokation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \left(\tilde{\mathbf{x}}^{s}\right)_{s\in S}} existiert, die die folgenden Eigenschaften aufweist:

1. (Zulässigkeit in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle S} :) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \left(\tilde{\mathbf{x}}^{s}\right)_{s\in S}\in X^{S}}
2. (Pareto-Verbesserung für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle S} :) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle u^{s}\left(\tilde{\mathbf{x}}^{s}\right)\geq u^{s}\left(\mathbf{x}^{s}\right)} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle s\in S} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle u^{s}\left(\tilde{\mathbf{x}}^{s}\right)>u^{s}\left(\mathbf{x}^{s}\right)} für irgendein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle s\in S} .

Walrasianisches Gleichgewicht und Kern

Theorem: Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle (\mathbf{x},\mathbf{p})} ein walrasianisches Gleichgewicht einer reinen Tauschwirtschaft Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \mathbf{\mathcal{E}}} und seien die Präferenzen aller Konsumenten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i\in\mathcal{I}} lokal nicht gesättigt (im Spezialfall: seien die Nutzenfunktionen aller Konsumenten streng monoton). Dann liegt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \mathbf{x}} im Kern von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \mathbf{\mathcal{E}}} .

Die umgekehrte Implikation gilt grundsätzlich nicht: Nicht jede Kernallokation ist auch eine Walrasianische Gleichgewichtsallokation. Allerdings kann man zeigen, dass dies für hinreichend große Ökonomien (das heißt solche mit hinreichend vielen Konsumenten) der Fall ist (Satz von Debreu-Scarf).

Erweiterungen

Definition: Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (N,v)} ein kooperatives Spiel mit transferierbarem Nutzen, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N=\{1,\ldots,n\}} die Menge der Spieler bezeichnet und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v:2^{N}\rightarrow\mathbb{R}} die Koalitionsfunktion, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v(\emptyset)=0} . Dann bezeichnet man die Menge

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{C}_{\epsilon}(N,v):=\left\{ \mathbf{x}\in\mathbb{R}^{n}\left|\sum_{i\in N}x_{i}=v(N)\quad\mathrm{\&}\quad\sum_{i\in S}x_{i}\geq v(S)-\epsilon\mathrm{,}\;\forall S\notin\{N,\emptyset\}\right.\right\} }

als strikten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon} -Kern.

Literatur

• Rodica Branzei, Dinko Dimitrov und Stef Tijs: Models in Cooperative Game Theory. 2. Auflage. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-77953-7.
• Theo Driessen: Cooperative Games, Solutions and Applications. Kluwer, Dordrecht u. a. 1988, ISBN 90-277-2729-5.
• Robert P. Gilles: The Cooperative Game Theory of Networks and Hierarchies. Springer, Berlin u. a. 2010, ISBN 978-3-642-05281-1.
• Yakar Kannai: The Core and Balancedness. In: Robert J. Aumann und Sergiu Hart (Hrsg.): Handbook of Game Theory with Economic Applications. 1. Elsevier, Amsterdam 1992, ISBN 0-444-88098-4, S. 355–395, doi:10.1016/S1574-0005(05)80015-3.
• Michael Maschler, Eilon Solan, Shmuel Zamir: Game Theory, 2nd Edition. Cambridge University Press, Cambridge 2020, ISBN 978-1-108-49345-1.
• Vladimir Mazalov: Mathematical Game Theory and Applications. Wiley, Chicester 2014, ISBN 978-1-118-89962-5.
• David Müller: Investitionscontrolling: Entscheidungsfindung bei Investitionen II: Entscheidungstheorie. 3. Aufl. Springer Gabler, Berlin u. a. 2022, ISBN 978-3-658-36596-7.
• Bezalel Peleg und Peter Sudhölter: Introduction to The Theory of Cooperative Games. 2. Auflage. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-72944-0.
• Hans Peters: Game Theory, A Multi-Leveled Approach, Second Edition. Springer, Berlin u. a. 2015, ISBN 3-662-46949-9.
• Lloyd S. Shapley: On balanced sets and cores. In: Naval Research Logistics Quarterly, Volume 14, Issue 4, 1967, https://doi.org/10.1002/nav.3800140404, S. 453–460.
• Harald Wiese: Kooperative Spieltheorie. Oldenbourg, München 2005, ISBN 3-486-57745-X, doi:10.1524/9783486837469.

Ökonomische Anwendung

• David M. Kreps: Microeconomic Foundations I. Choice and Competitive Markets. Princeton University Press, Princeton 2012, ISBN 978-0-691-15583-8. [Zum Kern: Kapitel 15]
• James C. Moore: General equilibrium and welfare economics. An introduction. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-31407-3 (auch online: doi:10.1007/978-3-540-32223-8). [Zum Kern: Kapitel 11]
• Lester G. Telser: The Core Theory in Economics. Problems and Solutions. Routledge, Oxon 2007, ISBN 978-0-415-70144-0.