Hartley-Transformation

Die Hartley-Transformation, abgekürzt HT, ist in der Funktionalanalysis – einem Teilgebiet der Mathematik – eine lineare Integraltransformation mit Bezug zur Fourier-Transformation und wie diese eine Frequenztransformation. Im Gegensatz zur komplexen Fourier-Transformation ist die Hartley-Transformation eine reelle Transformation. Sie ist nach Ralph Hartley benannt, welcher sie 1942 vorstellte.

Die Hartley-Transformation existiert auch in diskreter Form, der diskreten Hartley-Transformation, abgekürzt DHT, welche in der digitalen Signalverarbeitung und der Bildverarbeitung Anwendung findet. Diese Form wurde 1994 von R.N.Bracewell veröffentlicht.

Definition

Die Hartley-Transformation einer Funktion f(t) ist definiert als:

$H(\omega )={\mathcal {H}}(f)(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,{\mbox{cas}}(\omega t)\mathrm {d} t$

mit der Kreisfrequenz ω und der Abkürzung:

${\mbox{cas}}(t)=\cos(t)+\sin(t)={\sqrt {2}}\sin(t+\pi /4)={\sqrt {2}}\cos(t-\pi /4)$

welche als „Hartley-Kern“ bezeichnet wird.

In der Literatur existieren auch betreffend den Faktor ${\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}$ abweichende Definitionen, welche diesen Faktor auf 1 normieren und bei der inversen Hartley-Transformation der Faktor ${\tfrac {1}{2\pi }}$ auftritt.

Inverse Transformation

Die Hartley-Transformation ist nach obiger Definition zu sich selbst invers, womit sie eine involutive Transformation ist:

$f={\mathcal {H}}({\mathcal {H}}(f))$

Bezug zur Fourier-Transformation

Die Fourier-Transformation

$F(\omega )={\mathcal {F}}(f)(\omega )$

weicht durch ihren komplexen Kern:

$\exp \left({-\mathrm {i} \omega t}\right)=\cos(\omega t)-\mathrm {i} \sin(\omega t)$

mit der imaginären Einheit $\mathrm {i}$ von dem rein reellen Kern $\operatorname {cas} (\omega t)$ der Hartley-Transformation ab. Bei entsprechender Wahl der Normalisierungsfaktoren kann die Fourier-Transformation direkt aus der Hartley-Transformation berechnet werden:

$F(\omega )={\color {darkred}{\sqrt {2\pi }}}\left({\frac {H(\omega )+H(-\omega )}{2}}-\mathrm {i} {\frac {H(\omega )-H(-\omega )}{2}}\right)$

Der rote Korrekturfaktor ${\sqrt {2\pi }}$ verschwindet hier bei Verwendung der oben genannten, alternativen Definition ohne ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$

Der Real- bzw. Imaginärteil der Fourier-Transformation wird dabei durch die geraden und ungeraden Anteile der Hartley-Transformation gebildet.

Beziehungen des Hartley-Kerns

Für den „Hartley-Kern“ ${\mbox{cas}}(t)$ lassen sich folgende Beziehungen aus den trigonometrischen Funktionen ableiten:

Das Additionstheorem:

$2{\mbox{cas}}(a+b)={\mbox{cas}}(a){\mbox{cas}}(b)+{\mbox{cas}}(-a){\mbox{cas}}(b)+{\mbox{cas}}(a){\mbox{cas}}(-b)-{\mbox{cas}}(-a){\mbox{cas}}(-b)\,$

und

${\mbox{cas}}(a+b)=\cos(a){\mbox{cas}}(b)+\sin(a){\mbox{cas}}(-b)=\cos(b){\mbox{cas}}(a)+\sin(b){\mbox{cas}}(-a)\,$

Die Ableitung ist gegeben als:

${\frac {{\mbox{d cas}}(a)}{{\mbox{d }}a}}=\cos(a)-\sin(a)={\mbox{cas}}(-a)$