Satz von der eingeschränkten Invertierbarkeit

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Der Satz von der eingeschränkten Invertierbarkeit (englisch restricted invertibility theorem), auch Satz von Bourgain-Tzafriri, ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis. Das Theorem beschäftigt sich mit der Frage der Invertierbarkeit eines linearen Operators (respektive einer quadratischen Matrix) auf einem endlichdimensionalen -Raum. Das Theorem hat bedeutende Anwendungen in der lokalen Theorie der Banach-Räume.

Der Satz wurde von Jean Bourgain und Lior Tzafriri bewiesen.[1]

Eingeschränkte Invertierbarkeit

Notation:

  • ist der Folgenraum der -summierbaren Folgen.
  • ist die Operatornorm.
  • ist die Kardinalität von .

Aussage

Sei ein linearer Operator, so dass für jeden Einheitsvektor gilt

.

Dann existieren universelle Konstanten und eine Index-Untermenge , welche mindestens

Indizes hat, so dass für die Norm der Restriktion gilt

wobei beliebige Skalare sind.[2]

Erläuterungen an einem Beispiel

Sei eine reelle -Matrix und bezeichnet die Restriktion von auf die Spalten mit Indizes in

Es gilt nun für jeden Vektor , dass

Betrachtet man nun den kleinsten Singulärwert (oder allgemeiner die Schatten-Norm)

dann gilt

und daraus folgt, dass invertierbar ist. Weiter besitzt mindestens Spalten. Außerdem folgt aus der Konditionsnummer

dass die Operatornorm der Inversen nach oben beschränkt ist

Verallgemeinerungen

Es existieren diverse Verallgemeinerungen und verwandte Aussagen (u. a. von Spielman-Srivastava, Vershynin und Naor-Youssef). Zum Beispiel kann die Restriktion der Einheitsvektoren entfernt werden. Es existiert auch eine Version für unendlichdimensionale Räume.[3]

Bourgain-Tzafriri-Vermutung

Eine Verallgemeinerung ist die Bourgain-Tzafriri-Vermutung (BT-Vermutung), welche äquivalent zum Kadison-Singer-Problem (KS-Problem) ist. Das KS-Problem wurde 2013 positiv gelöst und somit auch die BT-Vermutung.

Formulierung

Sei ein linearer Operator, so dass für jeden Einheitsvektor gilt

.

Dann existiert eine universelle Konstante , so das für jede positive Zahl mit

ein und eine Partition von existieren, so dass

wobei beliebige Skalare sind.[4]

Literatur

Einzelnachweise

  1. J. Bourgain und L. Tzafriri: Invertibility of ‘large’ submatrices with applications to the geometry of Banach spaces and harmonic analysis. In: Israel Journal of Mathematics. Band 57, Nr. 2, 1987, S. 137–224, doi:10.1007/BF02772174.
  2. Daniel A. Spielman und Nikhil Srivastava: An Elementary Proof of the Restricted Invertibility Theorem. Hrsg.: arXiv. 2009, doi:10.48550/ARXIV.0911.1114, arxiv:0911.1114 [abs].
  3. Peter G. Casazza und Götz E. Pfander: Infinite dimensional restricted invertibility. Hrsg.: arXiv. 2009, doi:10.48550/arxiv.0905.0656, arxiv:0905.0656 [abs].
  4. Peter G. Casazza und Roman Vershynin: Kadison-Singer meets Bourgain-Tzafriri. 2005.