Vesica piscis

Vesica piscis ist die Schnittfläche von zwei kongruenten Kreisflächen, wobei der Mittelpunkt eines Kreises jeweils auf dem Rand des anderen Kreises liegt.

Vesica piscis (lat. für „Fischblase“) steht für eine geometrische Figur, die die linsenförmige Schnittmenge zweier gleich großer Kreise darstellt, die so relativ zueinander liegen, dass der Mittelpunkt jedes Kreises auf dem anderen Kreis liegt, so dass der Abstand zwischen den beiden Mittelpunkten gleich dem Kreisradius r ist. Dies bedingt, dass in die Linsenkontur zwei gleichseitige Dreiecke mit einer gemeinsamen Seite der Länge r hineinpassen.

Diese geometrische Figur findet in der Sakralarchitektur häufige Verwendung und wird dort als Mandorla (it. für „Mandel“) bezeichnet. Sie umschließt mit ihren äußeren Konturen oftmals eine Heiligenfigur. Auch als Ornament in Fenstern von Gebäuden aus der Gotik wird sie verwendet. Euklid soll diese Figur als erster beschrieben haben.

Berechnung

Verdeutlichung der im Text genannten Flächenanteile: Gleichseitiges Dreieck und 60°-Kreissegment

Das Verhältnis von Längs- zu Querdurchmesser der Linsenfigur ist entsprechend der Trigonometrie der beiden gleichseitigen Dreiecke gleich $2\sin 60^{\circ }={\sqrt {3}}$. Die Quadratwurzel aus 3 liegt nach Archimedes zwischen den angenäherten Bruchzahlen:

${\frac {1351}{780}}>{\sqrt {3}}>{\frac {265}{153}}\,.$

Dieses Zahlenverhältnis wird auch als heilig bezeichnet.

Die Flächen berechnen sich wie folgt:

r ist der Kreisradius und gleichzeitig die Seitenlänge der beiden inwendigen gleichseitigen Dreiecke, also hiermit der kleinere der beiden Durchmesser der Linse.

Hieraus lässt sich die Fläche des Sektors berechnen, der sich aus einem Kreissegment mit 1/6 des Kreisumfanges (nämlich 60° von 360°) und einem inwendig befindlichen gleichseitigen Dreieck zusammensetzt:

${\frac {1}{6}}\pi r^{2}$

Die Fläche des gleichseitigen Dreieckes erschließt sich wie folgt aus dem Wert für r:

${\frac {\sqrt {3}}{4}}r^{2}$.

Die Fläche eines Segmentes ergibt sich aus der Differenz zwischen diesen beiden Flächen:

${\frac {1}{6}}\pi r^{2}-{\frac {\sqrt {3}}{4}}r^{2}$

Aus der Fläche der beiden Dreiecke und vier Segmente ergibt sich die Fläche der vesica piscis:

${\frac {1}{6}}\left(4\pi -3{\sqrt {3}}\right)r^{2}\approx 1{,}2284\,r^{2}$

Rechenschritte zur Ermittlung der Fläche (ausklappbar)

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Aus den oben bereits ermittelten Teilflächen ergibt sich die Fläche der Vesica Piscis über folgende Schritte:

$2*{\frac {\sqrt {3}}{4}}r^{2}+4*({\frac {1}{6}}\pi r^{2}-{\frac {\sqrt {3}}{4}}r^{2})$

Ausklammern von $r^{2}$ und Ausmultiplizieren der Anzahl der Teilfiguren:

$r^{2}({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {4}{6}}\pi -{\sqrt {3}})$

Mit gleichnamigen Brüchen:

$r^{2}({\frac {3{\sqrt {3}}}{6}}+{\frac {4}{6}}\pi -{\frac {6{\sqrt {3}}}{6}})$

Ersten und dritten Summanden zusammengefasst:

$r^{2}({\frac {4}{6}}\pi -{\frac {3{\sqrt {3}}}{6}})$

Ausklammern von ${\frac {1}{6}}$

${\frac {1}{6}}(4\pi -3{\sqrt {3}})r^{2}$

Wegen der Verwendung der Quadratwurzel aus der Zahl drei und der Zahl π – zweier irrationaler Zahlen – bleibt die Fläche ein Näherungswert.

Sonstiges

Die Fischblase findet auch in der Symbolik der Freimaurerei Verwendung. Im volkstümlichen Glauben steht die Fischblase wegen ihrer Form auch für ein Fruchtbarkeitssymbol, welches auch mit Begrifflichkeiten wie „Lebensblume“ und „Mandala“ in Vermarktungskonzepte Eingang gefunden hat.

Weiterführendes

Commons: Vesica piscis – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Siehe auch: Mandorla

Siehe auch: Fischblase (Ornament)