Abzinsung und Aufzinsung

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Abzinsung zur Ermittlung des Kapitalwerts (Beispielhafte Übersicht)

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Jährliche Abzinsung mit Abzinsungsfaktoren als Diagramm

Die Abzinsung (auch Diskontierung, engl. discounting; oft auch Abdiskontierung genannt) ist eine Rechenoperation aus der Finanzmathematik. Berechnet wird hierbei der Wert einer zukünftigen Zahlung. Häufig wird mittels Diskontierung der gegenwärtige Wert (Barwert) einer zukünftigen Zahlung ermittelt.

Entsprechend ist die Aufzinsung (auch Askontierung) die umgekehrte Rechenoperation. Bei ihr wird der Wert, den eine Zahlung zu einem späteren Zeitpunkt hat, ermittelt.

Auf Grund der Existenz von (positiven) Zinsen hat derselbe Geldbetrag einen umso höheren Wert, je früher man ihn erhält. Dieser Zusammenhang wird durch die Rechenoperationen der Abzinsung und Aufzinsung wiedergegeben.

Der Wert $V$, den eine zum Zeitpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t_2} fließende Zahlung der Höhe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C} zum Zeitpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t_1} hat, berechnet sich als Produkt von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C} und dem Diskontierungsfaktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle DF} oder Abzinsfaktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle AF} , der eine Funktion der Zeitpunkte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t_1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t_2} sowie des maßgeblichen Zinssatzes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} ist.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V = C \cdot DF(i,t_1,t_2)}

Da es sich um eine Abzinsung handelt, liegt der Zeitpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t_1} vor dem Zeitpunkt $t_{2}$ (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t_1<t_2} ).

Der Aufzinsungsfaktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle AF} ist einfach der Kehrwert des Diskontierungsfaktors für den gleichen Zeitraum. Er dient z. B. zur Ermittlung eines Endwertes.

Positive Zinssätze vorausgesetzt, ist der Diskontierungsfaktor $DF$ immer kleiner als $1$ und größer als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} . Entsprechend ist der Aufzinsungsfaktor immer größer als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1} . Die genaue Form des Aufzinsungs- und des Diskontierungsfaktors hängt von der gewählten Zinskonvention ab.

Bei den Zinsen kann es sich sowohl um tatsächliche Zinsen (Marktzinsen) als auch um fiktive, etwa kalkulatorische oder Alternativzinsen handeln (wie zum Beispiel bei der Unternehmensbewertung).

Bestimmung des Diskontierungsfaktors und des Aufzinsfaktors

Im Folgenden wird die Form des Diskontierungsfaktors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle DF} zunächst für eine Abzinsung auf die Gegenwart (d. h. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t_1=0} ) angegeben. Der Diskontierungsfaktor hängt dann nur noch vom Zeitpunkt der künftigen Zahlung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t_2} , dieser kann dann einfach ohne Index als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t_2=t} geschrieben werden, und dem verwendeten Zinssatz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} ab. Der Aufzinsfaktor $AF$ gilt analog für die Aufzinsung einer gegenwärtigen Zahlung auf einen späteren Zeitpunkt $t_{2}=t$.

Lineare Verzinsung

Die lineare Verzinsung wird normalerweise für Zeiträume angewendet, die kleiner als ein Jahr sind. Die Faktoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle DF} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle AF} berechnen sich zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle DF = \frac{1}{1 + \frac{n}{m}i},~ AF = {1 + \frac{n}{m}i}}

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} die Anzahl der Zinstage bis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t_2} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} die Anzahl der Zinstage pro Jahr nach der gewählten Zinsberechnungsmethode sind.

Beispiel

• Beträgt der Zinssatz 5 % und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} liegt 3 Monate in der Zukunft, dann beträgt der Diskontierungsfaktor bei Verwendung der Zinsberechnungsmethode 30/360 (d. h. 30 Zinstage pro Monat und 360 Zinstage pro Jahr, sogenannte deutsche Methode)
• $DF={\frac {1}{(1+{\frac {3\cdot 30}{360}}\cdot 0{,}05)}}={\frac {1}{1{,}0125}}=0{,}98765$.
• Das heißt, dass eine Zahlung von 100 EUR, die man in 3 Monaten erhält, abgezinst einen gegenwärtigen Wert von 98,77 EUR haben.

Exponentielle Verzinsung

Die exponentielle Verzinsung wird normalerweise für Zeiträume verwendet, die länger als ein Jahr sind. Sie berücksichtigt implizit Zinseszinseffekte. Liegt der Zinssatz bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} und erfolgt die Zahlung in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} Jahren, so ist der Diskontierungsfaktor

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle DF = \frac{1}{(1 + i)^{t}},~ AF = {(1 + i)^{t}}} .

Beispiel

• Beträgt der Zinssatz wiederum 5 % und 'Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} liegt 4 Jahre in der Zukunft, dann betragen die Faktoren
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle DF = \frac{1}{(1 + 0{,}05)^4} = 0{,}82270} .

Stetige Verzinsung

Die stetige Verzinsung ist ein Sonderfall der exponentiellen Verzinsung und wird häufig bei theoretischen finanzmathematischen Fragestellungen verwendet. Sie berücksichtigt Zinseszinseffekte. Der Diskontierungsfaktor für eine Zahlung in $t$ Jahren lautet hier

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle DF = e^{-i \cdot t},\,AF = e^{i \cdot t}} .

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e} ist hierbei die Eulersche Zahl

Beispiel

• Bei Verwendung derselben Parameter wie bei dem Beispiel zur exponentiellen Verzinsung beträgt der Diskontierungsfaktor
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle DF = e^{-0{,}05 \cdot 4} = 2{,}71828^{-0{,}2} = 0{,}81873} ,
• liegt also nahe bei dem für die exponentielle Verzinsung

Abzinsung auf einen zukünftigen Zeitpunkt

Liegt der Zeitpunkt, auf den abgezinst werden soll, in der Zukunft, erfolgt die Berechnung analog. Der zu verwendende Zinssatz ist dann ein Zinssatz für einen Zeitraum, der in der Zukunft startet und entspricht damit einem Forward-Zins. Wird ein Zinssatz von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} angenommen, der Zeitpunkt der Zahlung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t_2} liegt in 9 Monaten und es soll auf einen Zeitpunkt $t_{1}$ in 3 Monaten abgezinst werden, so lautet der Diskontfaktor

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle DF = \frac{1}{1 + \frac{(9-3)\cdot30}{360}i}} ,

wenn eine lineare Verzinsung und wiederum die deutsche Zinsmethode angenommen wird. Es wird über (9 − 3) Monate = 6 Monate abgezinst, weil der Zeitpunkt, auf den abgezinst wird, 6 Monate vor dem Zeitpunkt der Zahlung liegt.

Siehe auch

• Doppelte Diskontierung
• Soziale Diskontrate

Literatur

• Lutz Kruschwitz: Investitionsrechnung. 10. Auflage. Oldenbourg, München 2005. ISBN 3-486-57771-9