Goldenes Rechteck

Beide Rechtecke – je mit den Seitenverhältnissen a:b sowie (a+b):a – sind jeweils Goldene Rechtecke (animierte Darstellung).

Ein Goldenes Rechteck ist ein Rechteck, dessen Seitenverhältnis der beiden Seiten $a$ und $b$ dem Goldenen Schnitt entspricht.

Dabei gilt für die Seitenverhältnisse – mit $a$ gleich a und $b$ gleich b –

a:b=(a+b):a

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Eine markante Eigenschaft dieser geometrischen Figur ist: Entfernt man einen quadratischen Abschnitt, entsteht wiederum ein Goldenes Rechteck.

Konstruktionen und Eigenschaften

Bild 1: Konstruktion eines Goldenen Rechtecks aus einem Quadrat

Bild 2: Goldenes Rechteck im Quadrat mit Seitenlänge a

Die wohl einfachste Konstruktion erhält man, indem man mit einem Quadrat beginnt (Bild 1) und dieses zu einem Goldenen Rechteck ausbaut. Hierzu wählt man zunächst ein paralleles Seitenpaar des Quadrates aus und konstruiert dessen Seitenmitten. Dann verlängert man das Seitenpaar auf einer Seite des Quadrates und zeichnet um die Seitenmitte einen Kreis, der durch die der Seitenmitte gegenüberliegenden Eckpunkte des Quadrats geht. Dieser Kreis schneidet die Verlängerung der Quadratseite im Eckpunkt des Goldenen Rechtecks. Den zweiten Eckpunkt erhält man, indem man eine analoge Konstruktion mit der zweiten Seitenmitte durchführt oder indem man dem ersten Eckpunkt des Goldenen Rechtecks eine Senkrechte errichtet, die die zweite Seitenverlängerung des Quadrates schneidet.

Die Seiten eines Quadrats (Bild 2) werden so im Goldenen Schnitt geteilt, dass an dem einen gegenüberliegenden Eckenpaar nur die kürzeren Seitenabschnitte anliegen und an dem anderen nur die längeren Seitenabschnitte. Die vier Teilungspunkte auf den Quadratseiten bilden nun ein Goldenes Rechteck.

Bild 3: Konstruktion eines Goldenen Rechtecks aus einem Fünfeck

Bild 4: Approximation der Goldenen Spirale

In einem regulären Fünfeck (Bild 3) teilen sich die Diagonalen gegenseitig im Goldenen Schnitt. Diese Eigenschaft lässt sich ebenfalls zur Konstruktion eines Goldenen Rechtecks verwenden. Zunächst konstruiert man ein reguläres Fünfeck mit Seitenlänge $a$ samt zwei seiner sich überschneidenden Diagonalen. Nun nimmt man eine der Diagonalen als die Grundseite des Rechtecks und errichtet an ihren Enden jeweils eine zu ihr senkrechte Strecke der Länge $a,$ so erhält man ein Goldenes Rechteck.

Die Tatsache, dass ein Goldenes Rechteck sich aus einem Quadrat und einem weiteren Goldenen Rechteck zusammensetzt, kann man verwenden, um ein gegebenes Goldenes Rechteck spiralförmig (Bild 4) in eine unendliche Folge von Quadraten zur zerlegen. Zeichnet man in diese Quadrate jeweils aneinandergrenzende Viertelkreise, so erhält man eine aus immer kleiner werdenden Viertelkreisen zusammengesetzte ebene Spirale. Besitzt das Ausgangsrechteck hierbei die Seitenlängen 1 und $\varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ so bildet diese Spirale eine relative genaue Approximation der Goldenen Spirale

Alexey Stakhov: Golden Rectangle and Golden Brick. In: Alexey Stakhov, Alekseĭ Petrovich Stakhov, Scott Anthony Olsen: The Mathematics of Harmony: From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science. Word Scientific 2009, ISBN 978-981-277-582-5, S. 20–23 (Auszug (Google))
Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum, Heidelberg, Berlin, Oxford 1988. ISBN 3-411-03155-7, S. 47–56
Edward B. Burger, Michael P. Starbird: The Heart of Mathematics: An Invitation to Effective Thinking. Springer 2005, ISBN 1-931914-41-9, S. 232–248 (Auszug (Google))

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