Kreisring

Kreisring mit Bezeichnungen

Als Kreisring bezeichnet man die Fläche zwischen zwei konzentrischen Kreisen, d. h. zwischen zwei Kreisen mit gemeinsamem Mittelpunkt. Sein Flächeninhalt beträgt

$A=\pi \cdot (R^{2}-r^{2})={\frac {\pi }{4}}\cdot (D^{2}-d^{2})$,

wobei $\pi$ die Kreiszahl ist und $R$ und $r$ die Radien sowie $D=2R$ und $d=2r$ die Durchmesser des Außen- bzw. des Innenkreises bedeuten.

Der Flächeninhalt kann auch aus Innendurchmesser $d$ bzw. Außendurchmesser $D$ und Ringbreite $b$ errechnet werden:

$A=\pi \cdot (D-b)\cdot b=\pi \cdot (d+b)\cdot b$

Diese Angaben finden sich z. B. bei Rohrquerschnitten; dabei ist $b$ die Wanddicke.

Ferner lässt sich mit der Kreisringbreite $b$ und mit dem mittleren Kreisringdurchmesser $d_{m}=(D+d)/2$ der Flächeninhalt $A$ berechnen nach

$A=\pi \cdot d_{m}\cdot b$.

Die Strecke zwischen dem Berührungspunkt der Tangente des Innenkreises und dem Schnittpunkt mit dem Aussenkreis ist bei beiden Kreisringen gleich groß. Der Mathematiker Mamikon Mnatsakian zeigte durch geometrische Transformation, dass in diesem Fall auch die Flächen der Kreisringe gleich groß sind. Die tangential am Innenkreis anliegende Strecke wird schrittweise um den Mittelpunkt des Kreises rotiert. Die dabei gebildeten Segmente können nach innen verschoben werden, bis sie sich im Mittelpunkt treffen. Je schmaler die Segmente gewählt werden, desto glatter wird der Rand der durch das Zusammenschieben gebildeten Kreisfläche.

Anwendungen

Der für hydraulische Anwendungen wirksame hydraulische Durchmesser $d_{H}$ bei einem Kreisring beträgt

$d_{H}={\frac {D^{2}-d^{2}}{D+d}}=D-d$.

Soll z. B. für Bremsscheiben ein Reibmoment $M_{t}$ mit der Axialkraft $F_{ax}$ und dem Reibwert $\mu$ nach

$M_{t}=\mu \cdot F_{ax}\cdot r_{\mu }$

bestimmt werden, berechnet sich der reibungsrelevante Radius $r_{\mu }$ bzw. Durchmesser $d_{\mu }$ nach

$r_{\mu }={\frac {2\cdot (R^{3}-r^{3})}{3\cdot (R^{2}-r^{2})}}$ bzw. $d_{\mu }={\dfrac {2\cdot (D^{3}-d^{3})}{3\cdot (D^{2}-d^{2})}}$.

Flächengleichheit zu einem Kreis

Ein Kreis mit dem Radius $r=5$ enthalte vier weitere konzentrische Kreise mit den ganzzahligen Radien $1,2,3$ und $4$.

Dann sind der äußere graue Kreisring mit der Breite $b=1$ und der graue Kreis mit dem Radius $3$ flächengleich, obwohl der graue Kreis größer erscheint.

Dieses Phänomen wird auch als Bullaugen-Illusion bezeichnet.

Die Flächengleichheit ergibt sich unter Verwendung des pythagoreischen Tripels $(3,\ 4,\ 5)$) aus $\pi \cdot 5^{2}-\pi \cdot 4^{2}=\pi \cdot 3^{2}$.

Siehe auch

Torus, Hohlzylinder, Kugelschale

Weblinks

Commons: Kreisringe – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Kreisring – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• http://www.mathematische-basteleien.de/ring.htm

Einzelnachweise

Die Strecke d auf der Tangente des Innenkreises ist proportional zur Fläche des Kreisrings.