Benutzer:Benson.by/temp
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X ist die Zufallsvariable mit der beschriebenen Dichte. Gesucht ist jetzt eine Zahl x, die die Gleichung P(X>x)=0.2 erfüllt. Dazu äquivalent ist die Formulierung P(X <= x)=0.8. (Mit anderen Worten: wir suchen das 80-Prozent-Quantil x). Geometrisch: Wir suchen einen Punkt x auf der x-Achse, für den 80% der Fläche links und 20% rechts liegen. Bei stetigen Zufallsvariablen mit Dichte f gilt bekanntlich
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(X \le x)= \int_{-\infty}^x f(t) dt}
Man beachte: das x ist nicht die Variable, nach der Integriert wird (die heißt hier t, oder wie man sie auch immer nennen will, auf jeden Fall nicht x). Jetzt setzen wir f ein und rechnen das Integral in Abhängigkeit von x aus. Dabei können wir anstatt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\infty} auch gleich 0 schreiben, da die Dichte links von der Null keine Fläche hat.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_0^x 0.4-0.08 t dt= 0.4 \int_0^x (1)dt -0.08 \int_0^x t dt=}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =0.4x-0.08 \frac{x^2}{2}=0.4x-0.04x^2}
Das integrieren ist hier recht einfach, da die Stammfunktionen bei 0 beide den Wert Null haben. So, dieses ergebnis soll jetzt gleich 0.8 sein, und so müssen wir das x jetzt wählen. Das ergibt eine quadratische Gleichung in x:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0.4x-0.04x^2=0.8 \Leftrightarrow 0.04x^2-0.4x+0.8=0 \Leftrightarrow}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2-10x+20=0 \Leftrightarrow x=\frac{10 \pm \sqrt{10^2-4*1*20}}{2*1}=\frac{10 \pm \sqrt{20}}{2}=5 \pm \sqrt{5}}
Dabei habe ich einmal die Gleichung mit 25 erweitert, um die ganzen fiesen kommazahlen zu vernichten, und einmal die Wurzel vereinfacht: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{20}=\sqrt{4}*\sqrt{5}=2\sqrt{5}} und dann mit 2 gekürzt.
So, jetzt haben wir 2 mögliche ergebnisse, welches ist das richtige? Da die Dichte f ja ihre gesamte Masse zwischen 0 und 5 hat, müssen alle quantile auch in [0,5] liegen. Also scheidet aus, und das ergebnis ist Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle 5-{\sqrt {5}}\approx 2.76} .
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Bei stetigen Zufallsvariablen gilt ganz allgemein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(X \in [a,b])=\int_a^b f(t)dt} (das ist eigentlich das einzige, was man über stetige ZV wissen muss), dabei sind die intervallgrenzen (also [a,b], [a,b[, ]a,b[ usw) egal. Wir wollen P(X=1) berechnen, und das ist demnach
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(X=1)=P(X \in [1,1])=\int_1^1 f(t)dt =0}
da Integrale über der Intervallänge 0 immer null sind (is ja auch keine Fläche darunter). Das ganze klappt natürlich genauso mit jeder anderen Zahl, also P(X=c)=0 für alle c. Klingt komisch, ist aber so.
