Benutzer:Stefan-Xp/Mathematik Semester 4

Wahrscheinlichkeit

Grundlagen

Wir betrachten Ereignisse, deren Eintreffen vom Zufall abhängt und deren Wahrscheinlichkeit durch Zahlen ausgedrückt werden können. Wahrscheinlichkeiten können statistisch erfaßt werden, in dem man die Bedingungen, unter denen ein bestimmtes Ereignis eintreffen kann, immer wieder realisiert und feststellt, mit welcher Häufigkeit das Ereignis eintrifft. Ist die Wahrscheinlichkeit p, so heißt das, daß in einer Reihe von n Wiederholungen das Ereignis durchschnittlich pn - mal eintrifft. Wenn A und B sich ausschließen, so gilt P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ).

Zwei Ereignisse A, B heißen unabhängig, wenn P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) gilt, d.h. P ( B | A ) = P ( B ). Das Eintreten von B ist dann vom Eintreten von A unabhängig.

Klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff

Gegeben sei ein Ereignis A mit P ( A ) ≠ 0 . Die bedingte Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B unter der Voraussetzung, daß A schon eingetroffen ist, wird durch $P(B|A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}}$ definiert. Daraus folgt, daß P(A∩B) = P(A) P(B|A) gilt. Wenn die Elementarereignisse eines Zufallsexperiments alle gleich Wahrscheinlich sind, und es k Elementarereignisse gibt, so gilt für jedes $P(E_{I})={1 \over k}$ Wenn ein Ereignis A durch l Elementarereignisse realisiert werden kann, dann gilt: $P(A)={l \over k}={Anzahl\ guenstiger \over Anzahl\ moeglicher}$

Zählregeln / Kombinatorik

	Ziehen mit Zurücklegen	Ziehen ohne Zurücklegen
mit Beachtung der Reihenfolge	$n^{k}$	$n! \over (n-k)!$
ohne Beachtung der Reihenfolge	${n+k-1 \choose k}$	${n \choose k}$

Zufallsvariablen

Es gibt zwei Markante Fälle:

1. X kann nur enflich viele Werte annehmen
2. X kann beliebig viele Werte annehmen und ist stetig

Wenn F(t) (Funktion der Zufallsvariable) stetig differenzierbar ist, dann heisst F'(t) = f(t) (Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsvariablen X)

• $P(a\leq x\leq b)=F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t$
• $\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,\mathrm {d} t=1$

Erwartungswert

Der Mittelwert oder Erwartungswert E[x] einer zufälligen Größe x, die nur endlich viele Werte t₁, t₂, ..., t_n mit den Wahrscheinlichkeiten P₁, P₂, ..., P_n annehmen kann, ist definiert durch

• ${\hat {X}}=E[X]=\sum _{i=1}^{n}t_{i}\cdot p_{i}$

Es gelten folgende Rechenregeln:

1. E ( x + y ) = E x + E y
2. E (c x ) = c E x

Sind die beiden Größen x, y unabhängig voneinander, so gilt

• E ( x y ) = ( E x ) ⋅ ( E y )

Varianz

• $\sigma ^{2}=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\cdot (t_{i}-E[x])^{2}$ in anderer Schreibweise:
• $\sigma ^{2}=E[(x-{\hat {x}})^{2}]$

Die Streuung der ZV ($\sigma =+{\sqrt {\sigma ^{2}}}$) hat die gleiche Einheit wie t. Wenn X eine stetige Zahl mit W.-Dichte f(t) ist, dann gilt:

• ${\hat {E}}[X]=\int _{-\infty }^{\infty }t\cdot f(t)\,\mathrm {d} t$
• ${\hat {\sigma }}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }(t-E[x])^{2}\cdot f(t)\,\mathrm {d} t$

Aber Vorsicht:

• $var_{(}x+y)\neq var_{(}x)+var_{(}y)\qquad \Rightarrow \qquad var(x+y)=var(x)+var(y)+cov(x,y)$ wobei
• $cov(x,y)=E[(x-\mu _{x})(y-\mu _{y})]$

Die Kovarianz cov(x,y) ist ein Maß für die Abhängigkeit von x zu y. Falls $cov(x,y)=0$ dann sind x und y unabhängig.

Zufallsprozesse

• Ereignisbaum ...
• Ziegenproblem ...
• Multiplikationsraum
• Formel von Bayes

Gauß-Verteilung / Normalverteilung

Gausche Glockenkurve mit Maximum ($E=\mu$) im Ursprung und $\sigma$ in den Wendepunkten. $f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}$

• 1. Veränderung: Vertikale Verschiebung

$f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot e^{-{\frac {1}{2}}(t-\mu )^{2}}$

• 2. Veränderung: Horizontale Dehnung

$f(t)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\cdot e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {(t-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}}$

Tschebyscheffsche Ungleichung

Tschebyscheff'sche Ungleichung

Spezielle Verteilungen

Abgeleitete Verteilungen

Die t-Verteilung

(Student-Verteilung) (Gosset)