Benutzer:Ein weiterer Max

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Smith'sche Normalform Smith-Normalform smithsche Normalform

Sei $R$ ein Hauptidealring, $m,n\in \mathbb {N} ;A\in R^{n\times m}$. Dann ist $A$ stets äquivalent zu einer Diagonalmatrix $D\in R^{n\times m}$ mit

$D={\begin{pmatrix}d_{1}&0&\cdots &0&0&\cdots &\cdots &\cdots &0\\0&d_{2}&\ddots &\vdots &\vdots &&&&\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0&\vdots &&&&\vdots \\0&\cdots &0&d_{r}&0&\cdots &\cdots &\cdots &0\\0&\cdots &\cdots &0&0&\cdots &\cdots &\cdots &0\\\vdots &&&\vdots &\vdots &&&&\vdots \\0&\cdots &\cdots &0&0&\cdots &\cdots &\cdots &0\end{pmatrix}}$,

sodass $d_{i}|d_{i+1}\forall i=1,\cdots ,r-1$, wobei die $d_{i},i=1,\cdots ,r$ alle eindeutig bestimmt sind bis auf Assoziierte. $r$ heißt Rang von $A$ bzw. $D$, die $d_{i}$ heißen Elementarteiler von $D$. (siehe auch Elementarteilersatz) $D$ heißt Smith'sche Normalform von $A$.